Üçgende Alan, Sinüs ve Kosinüs Teoremleri Kazanım Test Çöz

Sorular

1. 1.

   Kosinüs teoremi bağıntısı $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ olarak bilinmektedir. Bu teoremde $m(\widehat{C}) = 90^\circ$ alındığında $\cos 90^\circ = 0$ olması sonucunda ulaşılan $c^2 = a^2 + b^2$ eşitliği, teoremin hangi temel geometri teoremine bir genelleme olduğunu kanıtlar?

   • A) Pisagor teoremi
   • B) Thales teoremi
   • C) Heron formülü
   • D) Açıortay teoremi
   • E) Ceva teoremi
2. 2.

   Bir ABC üçgeninde B köşesinden [AC] kenarına indirilen dikmenin uzunluğu $h_b$'dir. $h_b = c\sin A$ ve aynı zamanda $h_b = a\sin C$ olduğuna göre bu iki bağıntının eşitlenmesi hangi teoremi doğrudan doğrular?

   • A) Öklid teoremi
   • B) Kosinüs teoremi
   • C) Kenarortay teoremi
   • D) İç açıortay teoremi
   • E) Sinüs teoremi
3. 3.

   Bir öğrenci kosinüs teoremini doğrulamak için izlediği adımları aşağıdaki tabloda listelemiştir: AdımUygulanan Matematiksel İşlem I[BC] kenarına ait $h_a$ yüksekliği çizilerek iki dik üçgen oluşturulur. IIOluşan dik üçgenlerde ayrı ayrı Pisagor teoremi yazılır. IIIDenklemlerdeki ortak yükseklik terimi $h_a^2$ yok edilir. IVDik üçgendeki dar açının kosinüs tanımı yazılarak uzunluk yerine konur. Bu adımlara göre öğrencinin IV. adımda yaptığı dönüşümün temel gerekçesi nedir?

   • A) Üçgenin alanını hesaplamak
   • B) Ek çizimle oluşan ara değişkeni üçgenin kenar ve açısı cinsinden ifade etmek
   • C) Çevrel çemberin yarıçapını formüle dahil etmek
   • D) Üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunu göstermek
   • E) İki kenarın birbirine eşit olduğunu kanıtlamak
4. 4.

   Çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R olan bir ABC üçgeninde [BD] çapı çizilerek BCD dik üçgeni oluşturuluyor. Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşit olduğundan $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$ olduğu bilindiğine göre BCD üçgeninde $\sin D = \frac{a}{2R}$ oranı aşağıdakilerden hangisini kanıtlar?

   • A) $a^2 + b^2 = c^2$
   • B) $\text{Alan}(ABC) = \frac{a \cdot h_a}{2}$
   • C) $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
   • D) $\frac{a}{\sin A} = 2R$
   • E) $b\sin A = a\cos B$
5. 5.

   Geniş açılı bir ABC üçgeninde C açısı geniş açı olup A köşesinden [BC] kenarının uzantısına indirilen dikme ayağı H noktasıdır. $|AC|=b$, $|BC|=a$, $|AB|=c$, $|CH|=x$ ve $|AH|=h$ olarak verilmiştir. $\cos(180^\circ - C) = -\cos C = \frac{x}{b}$ olduğuna göre $c^2$ değerinin açılımındaki $+2ax$ terimi $\cos C$ cinsinden nasıl yazılır?

   • A) $-2ab\cos C$
   • B) $+2ab\cos C$
   • C) $-2ab\sin C$
   • D) $+2ab\sin C$
   • E) $-ab\cos C$
6. 6.

   Dar açılı bir ABC üçgeninde A köşesinden [BC] kenarına indirilen dikme ayağı H olsun. $HC = x$, $BH = a - x$, $AH = h$ ve $\cos C = \frac{x}{b}$ olarak belirlenmiştir. AHC ve ABH dik üçgenlerinde Pisagor teoremi uygulandığında $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ eşitliğine ulaşmak için $h^2$ yerine hangi ifade yazılmalıdır?

   • A) $a^2 - x^2$
   • B) $c^2 - a^2$
   • C) $b^2 + x^2$
   • D) $a^2 + b^2$
   • E) $b^2 - x^2$
7. 7.

   Bir ABC üçgeninin alanı $\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$ eşitlikleri ile hesaplanabilmektedir. Bu eşitliklerin her bir terimi $\frac{1}{2}abc$ ifadesine bölündüğünde aşağıdaki teoremlerden hangisi doğrudan doğrulanmış olur?

   • A) Kosinüs teoremi
   • B) Stewart teoremi
   • C) Sinüs teoremi
   • D) Menelaus teoremi
   • E) Pisagor teoremi

Doğru cevaplar ve adım adım çözümler testi tamamladıktan sonra gösterilir.