Mantık Yeni Nesile Geçiş Test Çöz

Sorular

1. $(a_n)$ dizisi için aşağıdaki önermeler tanımlanmıştır: $p:$ "$(a_n)$ dizisi aritmetik bir dizidir." $q:$ "$(a_n)$ dizisi geometrik bir dizidir." $r:$ "$(a_n)$ sabit bir dizidir." Buna göre, $(p \wedge q) \Rightarrow r$ koşullu önermesinin doğruluk değeri için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

   • A) Yanlıştır (0), çünkü sabit dizi aritmetik olamaz.
   • B) Yanlıştır (0), çünkü bir dizi aynı anda ikisi olamaz.
   • C) Doğrudur (1), çünkü hem aritmetik hem geometrik olan diziler sabit dizilerdir.
   • D) Doğruluk değeri belirlenemez.
   • E) Yalnızca ilk terimi sıfır olan diziler için doğrudur.

2. $P(x)$ ikinci dereceden bir polinom olmak üzere, $p: P(1) = 0$ $q: P(3) = 0$ $r: P(0) = 6$ önermeleri veriliyor. $(p \wedge q \wedge r) \equiv 1$ olduğuna göre, $P(x)$ polinomunun katsayılar toplamı $P(1)$ ile sabit terimi $P(0)$'ın toplamı kaçtır?

   • A) 0
   • B) 12
   • C) 3
   • D) 6
   • E) 9

3. $[(p \Rightarrow q) \wedge (q' \Rightarrow p)]'$ bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

   • A) $p$
   • B) $q$
   • C) $p'$
   • D) 0
   • E) $q'$

4. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $p(x, y): x^2 + y^2 = 0$ açık önermesi verilmektedir. Buna göre, $p(x,y)$ önermesini doğrulayan $(x,y)$ sıralı ikililerinin oluşturduğu çözüm kümesi kaç elemanlıdır?

   • A) 1
   • B) 2
   • C) Sonsuz elemanlı
   • D) 0 (Boş küme)
   • E) 4

5. Bir öğrenci "$\sqrt{2}$ irrasyonel bir sayıdır" teoremisini ispatlarken şu adımları izlemiştir: I. $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ ($a, b \in \mathbb{Z}$ ve $\text{ebob}(a,b)=1$) olsun. II. $2 = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow a^2 = 2b^2$ olur, o halde $a^2$ ve dolayısıyla $a$ çift sayıdır. III. $a = 2k$ yazılırsa $4k^2 = 2b^2 \Rightarrow b^2 = 2k^2$ olur, o halde $b$ de çift sayıdır. IV. Hem $a$ hem $b$ çift olduğundan $\text{ebob}(a,b) \ge 2$ olur. Bu ise başta yapılan kabul ile çelişir. Bu öğrencinin kullandığı ispat yöntemi aşağıdakilerden hangisidir?

   • A) Doğrudan İspat Yöntemi
   • B) Tümevarım Yöntemi
   • C) Karşıt Örnek Verme Yöntemi
   • D) Çelişki ile İspat (Olmayana Ergi) Yöntemi
   • E) Aksine Örnekleme Yöntemi

6. $a$ ve $b$ gerçel sayıları için, $p: a \cdot b = 0$ $q: a^2 + b^2 = 0$ $r: a + b = 0$ önermeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdaki koşullu önermelerden hangisi daima doğrudur?

   • A) $p \Rightarrow q$
   • B) $q \Rightarrow p$
   • C) $r \Rightarrow q$
   • D) $p \Rightarrow r$
   • E) $r \Rightarrow p$

7. Evrensel küme $E$ içerisinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri sırasıyla $p(x): x \in A$ ve $q(x): x \in B$ açık önermeleri ile temsil edilmektedir. Buna göre, $p(x) \Rightarrow q(x)'$ önermesi her $x$ elemanı için doğru olduğuna göre, $A$ ve $B$ kümeleri arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir?

   • A) $A \subseteq B$
   • B) $B \subseteq A$
   • C) $A = B$
   • D) $A \cup B = E$
   • E) $A \cap B = \emptyset$

8. Bir teorem şu şekilde verilmiştir: "Bir $x$ tam sayısı tek sayı ise $x^2$ tek sayıdır." Bu önermenin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?

   • A) Bir $x$ tam sayısı çift sayı ise $x^2$ çift sayıdır.
   • B) Bir $x$ tam sayısının $x^2$ değeri tek sayı ise $x$ tek sayıdır.
   • C) Bir $x$ tam sayısının $x^2$ değeri tek sayı değilse $x$ tek sayı değildir.
   • D) Bir $x$ tam sayısı tek sayı değilse $x^2$ tek sayı değildir.
   • E) Bir $x$ tam sayısının $x^2$ değeri çift sayı ise $x$ çift sayıdır.

9. Matematiksel bir hipotez şu şekilde ifade edilmiştir: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0$ veya $\exists y \in \mathbb{R}, y + 3 = 0$" Bu ifadenin olumsuzu (değili) aşağıdakilerden hangisidir?

   • A) "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0$ ve $\forall y \in \mathbb{R}, y + 3 \neq 0$"
   • B) "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0$ veya $\exists y \in \mathbb{R}, y + 3 \neq 0$"
   • C) "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 < 0$ ve $\forall y \in \mathbb{R}, y + 3 \neq 0$"
   • D) "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 < 0$ ve $\exists y \in \mathbb{R}, y + 3 = 0$"
   • E) "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0$ veya $\forall y \in \mathbb{R}, y + 3 \neq 0$"

10. Akıllı kilit sistemi geliştiren bir mühendis, kilit mekanizmasını $p \Leftrightarrow q$ önermesiyle kodlamıştır. Buna göre, kilidin açılması için gereken mantıksal durum aşağıdakilerden hangisine her zaman denktir?

    • A) $p \wedge q$
    • B) $p \vee q$
    • C) $p \Rightarrow q$
    • D) $(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)$
    • E) $(p' \wedge q) \vee (p \wedge q')$

11. Bir matematik öğretmeni tahtaya $p$, $q$ ve $r$ önermelerini yazmıştır. $(p \wedge q') \Rightarrow r$ bileşik önermesi yanlış olduğuna göre; $p$, $q$ ve $r$ önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) 1, 1, 0
    • B) 1, 0, 0
    • C) 0, 1, 1
    • D) 1, 0, 1
    • E) 0, 0, 0

Doğru cevaplar ve adım adım çözümler testi tamamladıktan sonra gösterilir.