Ortalama Değişim Oranı, Anlık Değişim Oranı Kazanım Test Çöz

Sorular

1. 1.

   İki fonksiyonun türev kuralları ile ilgili olarak; I. İki fonksiyonun toplamının türevi, türevlerinin toplamına eşittir. II. İki fonksiyonun çarpımının türevi, türevlerinin çarpımına her zaman eşittir. III. Sabit bir fonksiyon ile bir fonksiyonun çarpımının türevi, sabitin kendisi ile fonksiyonun türevinin çarpımıdır. yargılarından hangileri doğrudur?

   • A) Yalnız I
   • B) I ve II
   • C) II ve III
   • D) I ve III
   • E) I, II ve III
2. 2.

   Bir ekonomi modelinde toplam maliyet $C(t) = f(t) \cdot g(t)$ olarak tanımlanmıştır. $t=1$ anında $f(1)=10$, $f'(1)=2$, $g(1)=50$ ve $g'(1)=4$ olarak ölçülmüştür. Buna göre maliyetin anlık değişim oranı olan $C'(1)$ değeri kaçtır?

   • A) 8
   • B) 100
   • C) 140
   • D) 200
   • E) 500
3. 3.

   Türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için $g(2) = 4$, $g'(2) = 3$ ve $f'(4) = 5$ değerleri bilinmektedir. Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre $(f \circ g)'(2)$ değeri kaçtır?

   • A) 12
   • B) 15
   • C) 20
   • D) 8
   • E) 23
4. 4.

   $f$ ve $g$ fonksiyonları $x = a$ noktasında türevlenebilir olduğuna göre $(3f - 2g)'(a)$ ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

   • A) $3f'(a) - 2g'(a)$
   • B) $3f'(a) + 2g'(a)$
   • C) $f'(3a) - g'(2a)$
   • D) $6(f'(a) - g'(a))$
   • E) $\frac{3f'(a)}{2g'(a)}$
5. 5.

   Bölümün türevi kuralı olan $\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ formülünü çarpım ve bileşke türev kurallarından faydalanarak kanıtlamak isteyen bir öğrencinin yapması gereken en uygun ilk adım nedir?

   • A) $\frac{f(x)}{g(x)}$ ifadesini $f(x) - g(x)$ olarak yazmak
   • B) $\frac{f(x)}{g(x)}$ ifadesini $f(x) \cdot [g(x)]^{-1}$ biçiminde yazıp çarpım ve zincir kuralını uygulamak
   • C) Pay ve paydayı doğrudan ayrı ayrı türevleyip oranlamak
   • D) $f(x) = g(x)$ özel durumunu kabul etmek
   • E) $f'(x)$ ile $g'(x)$ farkını almak
6. 6.

   $f(x) = x^2$ ve $g(x) = x^3$ referans fonksiyonları veriliyor. Bir öğrenci $(f \cdot g)'(x) = 5x^4$ sonucunu türevin çarpım kuralı ile doğrulamak istiyor. Öğrencinin kullanması gereken doğru türev açılımı aşağıdakilerden hangisidir?

   • A) $(2x) \cdot (3x^2)$
   • B) $(2x) + (3x^2)$
   • C) $(2x) \cdot x^3 + x^2 \cdot (3x^2)$
   • D) $2x \cdot (3x^2) + x^2 \cdot x^3$
   • E) $\frac{2x \cdot x^3 - x^2 \cdot 3x^2}{x^6}$
7. 7.

   $(f \circ g)'(x)$ bileşke fonksiyonunun türevi için ileri sürülen aşağıdaki gerekçelendirmelerden hangisi limit tanımı açısından tam ve doğrudur?

   • A) $(f \circ g)'(x) = f'(g'(x))$ şeklindedir çünkü limit iç içe geçer.
   • B) $(f \circ g)'(x) = f'(x) \cdot g'(x)$ şeklindedir çünkü çarpım kuralı geçerlidir.
   • C) $\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h} = \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ özdeşliğinden hareketle limit alındığında $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ elde edilir.
   • D) Bileşke fonksiyonun türevi sadece polinom fonksiyonlar için limit ile gösterilebilir.
   • E) $g(x)$ sabit kabul edilerek yalnızca $f'(x)$ türevi hesaplanır.
8. 8.

   $g(x) \neq 0$ olmak üzere $\left(\frac{1}{g}\right)'(x)$ türevi limit tanımıyla ispatlanırken $\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)}}{h}$ ifadesinde payda eşitlemesi yapıldığında paydada $g(x+h) \cdot g(x)$ çarpımı oluşur. İspatın devamında bu çarpımın $h \to 0$ iken $[g(x)]^2$ değerine yaklaşmasını gerekçelendiren temel özellik nedir?

   • A) $g$ fonksiyonunun türevlenebilir olmasından dolayı sürekli olması
   • B) $g$ fonksiyonunun bire bir ve örten olması
   • C) $g$ fonksiyonunun monoton artan olması
   • D) $g$ fonksiyonunun periyodik olması
   • E) $g'(x)$ türevinin sıfıra eşit olmaması
9. 9.

   Türevin limit tanımı kullanılarak $(f+g)'(x)$ ifadesinin ispatı yapılırken limitin hangi temel özelliği doğrudan kullanılır?

   • A) İki fonksiyonun limitlerinin çarpımı kuralı
   • B) Bileşke fonksiyonun limiti kuralı
   • C) Sıkıştırma teoremi
   • D) Toplamın limitinin, limitlerin toplamına eşit olması kuralı
   • E) L'Hôpital kuralı
10. 10.

    Türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonlarının çarpımının türevi için limit tanımını kullanan iki öğrenci aşağıdaki iddiaları ileri sürmüştür. I. İddia: $(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g'(x)$ eşitliği türevin limit tanımı olan $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$ ifadesinden doğrudan elde edilir. II. İddia: Pay kısmına $f(x+h)g(x)$ terimi eklenip çıkarılarak limit alındığında ve $g$ fonksiyonunun sürekliliği kullanıldığında $(f \cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ kuralına ulaşılır. Buna göre bu iddialardan hangileri matematiksel olarak geçerli bir kanıta dayanmaktadır?

    • A) Yalnız I
    • B) Yalnız II
    • C) I ve II
    • D) Hiçbiri
    • E) Yalnızca $f(x) = g(x)$ durumunda I

Doğru cevaplar ve adım adım çözümler testi tamamladıktan sonra gösterilir.