Gerçek Katsayılı Tek Değişkenli Polinom Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Kazanım Test Çöz

Sorular

1. 1.

   Üçüncü dereceden $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ polinom fonksiyonunun yalnızca bir tane gerçek sıfırı olduğu ve bu sıfırın üç katlı kök olduğu bilinmektedir. Buna göre $y = P(x)$ fonksiyonunun grafiği ve nitel özellikleri ile ilgili aşağıdaki yargılardan hangisi yanlıştır?

   • A) Fonksiyon bire bir ve örtendir.
   • B) Fonksiyonun grafiği $x$ eksenini iki farklı noktada keser.
   • C) Fonksiyonun yerel maksimum veya yerel minimum noktası yoktur.
   • D) $P(x)$ fonksiyonu uygun bir yatay ve dikey öteleme ile $y = ax^3$ eğrisine dönüştürülebilir.
   • E) Fonksiyonun görüntü kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir.
2. 2.

   Dördüncü dereceden bir $P(x)$ polinomunun işaret tablosu aşağıda verilmiştir: $x$$-\infty$-32$\infty$ $P(x)$+0+0+ Buna göre $P(x)$ fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

   • A) Fonksiyonun başkatsayısı negatiftir.
   • B) $P(x)$ fonksiyonunun 4 farklı gerçek sıfırı vardır.
   • C) $P(x)$ grafiği $x = -3$ ve $x = 2$ apsisli noktalarda $x$ eksenine teğettir.
   • D) $P(0) < 0$ değerindedir.
   • E) Fonksiyonun en küçük değeri 0'dan küçüktür.
3. 3.

   Gerçek katsayılı dördüncü dereceden bir $P(x)$ polinom fonksiyonunun grafiği $x = 2$ noktasında $x$ eksenine teğet olup $x = -1$ ve $x = 5$ noktalarında $x$ eksenini kesmektedir. Buna göre $P(x)$ fonksiyonunun cebirsel çarpan gösterimi aşağıdakilerden hangisi olabilir? ($a \neq 0$)

   • A) $P(x) = a(x - 2)^2(x + 1)(x - 5)$
   • B) $P(x) = a(x + 2)^2(x - 1)(x + 5)$
   • C) $P(x) = a(x - 2)(x + 1)^2(x - 5)$
   • D) $P(x) = a(x - 2)(x + 1)(x - 5)^2$
   • E) $P(x) = a(x - 2)^3(x + 1)(x - 5)$
4. 4.

   Gerçek sayılar kümesinde tanımlı polinom fonksiyonların bire bir ve örtenlik özellikleri ile ilgili aşağıdaki çıkarımlardan hangisi daima doğrudur?

   • A) Bütün ikinci dereceden polinom fonksiyonlar bire birdir.
   • B) Bütün dördüncü dereceden polinom fonksiyonlar örtendir.
   • C) Bütün üçüncü dereceden polinom fonksiyonlar bire birdir.
   • D) Dördüncü dereceden bir polinom fonksiyon bire bir olabilir.
   • E) Bütün gerçek sıfırları birbirine eşit olan üçüncü dereceden bir polinom fonksiyon bire bir ve örtendir.
5. 5.

   Üçüncü dereceden bir $P(x)$ polinom fonksiyonunun işaret tablosu aşağıda verilmiştir: $x$$-\infty$-214$\infty$ $P(x)$+0-0+0- Buna göre $P(x)$ fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

   • A) Fonksiyonun başkatsayısı pozitiftir.
   • B) $P(0) < 0$ ve $P(2) > 0$ değerindedir.
   • C) Fonksiyon bire birdir.
   • D) $P(x)$ bir çift fonksiyondur.
   • E) Fonksiyonun görüntü kümesi $[0, \infty)$ aralığıdır.
6. 6.

   Sıfırları 1, 3 ve 5 olan bir $P(x)$ polinom fonksiyonu veriliyor. Buna göre $Q(x) = P(x - 2)$ polinom fonksiyonunun sıfırlarının toplamı kaçtır?

   • A) 3
   • B) 7
   • C) 9
   • D) 15
   • E) 17
7. 7.

   Aşağıda cebirsel kuralı verilen polinom fonksiyonlardan hangisi bir çift fonksiyondur?

   • A) $P(x) = x^4 - 3x^2 + 7$
   • B) $P(x) = x^3 + 2x$
   • C) $P(x) = x^4 + 2x^3 - 1$
   • D) $P(x) = x^2 + 5x$
   • E) $P(x) = x^5 - x$
8. 8.

   Başkatsayısı negatif olan üçüncü dereceden bir $P(x)$ polinom fonksiyonunun sonsuzdaki davranışı aşağıdakilerden hangisidir?

   • A) $x \to \infty$ iken $P(x) \to \infty$ ve $x \to -\infty$ iken $P(x) \to -\infty$
   • B) $x \to \infty$ iken $P(x) \to \infty$ ve $x \to -\infty$ iken $P(x) \to \infty$
   • C) $x \to \infty$ iken $P(x) \to -\infty$ ve $x \to -\infty$ iken $P(x) \to -\infty$
   • D) $x \to \infty$ iken $P(x) \to 0$ ve $x \to -\infty$ iken $P(x) \to 0$
   • E) $x \to \infty$ iken $P(x) \to -\infty$ ve $x \to -\infty$ iken $P(x) \to \infty$
9. 9.

   Gerçek katsayılı ve dördüncü dereceden bir $P(x)$ polinom fonksiyonunun en fazla kaç farklı gerçek sıfırı (kökü) olabilir?

   • A) 2
   • B) 3
   • C) 4
   • D) 5
   • E) Sonsuz çoklukta
10. 10.

    İki doğrusal fonksiyonun çarpımı karesel fonksiyon, karesel fonksiyon ile doğrusal fonksiyonun çarpımı ise 3. dereceden polinom fonksiyon oluşturur. Gerçek sayılarda tanımlı $P(x)$ polinom fonksiyonu her $x$ gerçek sayısı için $P(x) + P'(x) = x^2 + 4x + 3$ eşitliğini sağladığına göre $P(2)$ değeri kaçtır?

    • A) 7
    • B) 9
    • C) 11
    • D) 13
    • E) 15
11. 11.

    Doğrusal fonksiyonların grafiği bir doğru, karesel fonksiyonların grafiği bir parabol belirtirken daha yüksek dereceden polinom fonksiyonlar eğriler oluşturur. Gerçek sayılarda tanımlı ve başkatsayısı 1 olan 3. dereceden bir $P(x)$ polinom fonksiyonunun kökleri $-2, 1$ ve $3$ olduğuna göre $P(x)$ fonksiyonunun grafiğinin $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

    • A) $-6$
    • B) $-3$
    • C) 3
    • D) 6
    • E) 12
12. 12.

    Gerçek sayılarda tanımlı $P(x)$ polinom fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olup başkatsayısı 2 olan 3. dereceden bir fonksiyondur. $P(1) = -4$ olduğuna göre $P(2)$ değeri kaçtır?

    • A) 4
    • B) 8
    • C) 12
    • D) $-4$
    • E) 0
13. 13.

    Derecesi 1 olan polinom fonksiyonlar doğrusal, derecesi 2 olan polinom fonksiyonlar ise karesel fonksiyonlardır. Gerçek sayılarda tanımlı $P(x)$ ve $Q(x)$ polinom fonksiyonları için $\text{der}[P(x) \cdot Q(x)] = 5$ ve $\text{der}\left[\frac{P(x)}{Q(x)}\right] = 1$ olduğuna göre $Q(x)$ fonksiyonunun türü aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) Sabit fonksiyon
    • B) Doğrusal fonksiyon
    • C) Karesel fonksiyon
    • D) Üçüncü dereceden fonksiyon
    • E) Rasyonel fonksiyon
14. 14.

    Gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = 2x - 3$ doğrusal fonksiyonu ve $g(x) = x^2 + 4x + 1$ karesel fonksiyonu veriliyor. Buna göre $P(x) = f(x) \cdot g(x) - 2x^3$ polinom fonksiyonunun derecesi ve sabit terimi aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) Derecesi 3, sabit terimi $-3$
    • B) Derecesi 2, sabit terimi $-3$
    • C) Derecesi 2, sabit terimi 3
    • D) Derecesi 3, sabit terimi 1
    • E) Derecesi 1, sabit terimi $-3$
15. 15.

    Polinom fonksiyonlar, doğrusal ve karesel fonksiyonların cebirsel yapısının keyfî doğal sayı derecelerine genellenmesiyle elde edilir. Buna göre gerçek sayılarda tanımlı polinom fonksiyonlar için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

    • A) Her polinom fonksiyonun en az bir gerçek kökü vardır.
    • B) Polinom fonksiyonların tanım kümesi tüm gerçek sayılardır.
    • C) İki polinom fonksiyonun bölümü daima bir polinom fonksiyondur.
    • D) Tüm polinom fonksiyonların grafiği bir paraboldür.
    • E) Polinom fonksiyonların görüntü kümesi daima pozitif gerçek sayılardır.
16. 16.

    Doğrusal fonksiyonlar 1. dereceden, karesel fonksiyonlar ise 2. dereceden polinom fonksiyonlardır. Gerçek sayılarda tanımlı $P(x) = (m - 3)x^3 + 2x^n + 5x - 1$ fonksiyonu karesel bir polinom fonksiyon olduğuna göre $m + n$ toplamı kaçtır?

    • A) 5
    • B) 6
    • C) 4
    • D) 3
    • E) 2
17. 17.

    Gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = ax + b$ doğrusal fonksiyonu ile $g(x) = cx^2 + dx + e$ karesel fonksiyonu veriliyor ($a \neq 0, c \neq 0$). Buna göre $(f \cdot g)(x)$ polinom fonksiyonunun derecesi kaçtır?

    • A) 1
    • B) 2
    • C) 3
    • D) 4
    • E) 5
18. 18.

    Gerçek sayılarda tanımlı doğrusal ve karesel fonksiyonlar, değişkenlerinin üsleri doğal sayı ve katsayıları gerçek sayı olan polinom fonksiyon ailesinin özel üyeleridir. Buna göre aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi bir polinom fonksiyon belirtir?

    • A) $f(x) = 3x^2 - \frac{2}{x} + 5$
    • B) $f(x) = 4x^3 - \sqrt{2}x + 7$
    • C) $f(x) = 2x^{\frac{1}{2}} + 3x - 1$
    • D) $f(x) = 5^{x} + x^2 - 4$
    • E) $f(x) = \sqrt{x^3 + 1} - 6$

Doğru cevaplar ve adım adım çözümler testi tamamladıktan sonra gösterilir.