DEĞİŞİMİN MATEMATİĞİ (1) Kazanım Test Çöz

Sorular

1. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ve $x = 3$ noktasında sürekli olan bir $f(x)$ fonksiyonu için $f(3) = 5$'tir. Buna göre $g(x) = x^2 - f(x)$ kuralı ile tanımlanan $g$ fonksiyonunun $x = 3$ noktasındaki sürekliliği ve değeri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • A) $g$ fonksiyonu $x = 3$ noktasında süreklidir ve $g(3) = 4$'tür.
   • B) $g$ fonksiyonu $x = 3$ noktasında süreksizdir ve $g(3) = 4$'tür.
   • C) $g$ fonksiyonu $x = 3$ noktasında süreklidir ve $g(3) = 14$'tür.
   • D) $g$ fonksiyonunun $x = 3$ noktasında limiti yoktur.
   • E) $g$ fonksiyonu $x = 3$ noktasında süreksizdir ve $g(3) = 9$'dur.

2. $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ fonksiyonu $x = 0$ noktasında sürekli olduğuna göre $k$ değeri kaçtır?

   • A) 4
   • B) 2
   • C) 1
   • D) $\frac{1}{2}$
   • E) $\frac{1}{4}$

3. $f(x) = \begin{cases} 3x - a, & x < 2 \\ 4, & x = 2 \\ bx + 2, & x > 2 \end{cases}$ fonksiyonu $x = 2$ apsisli noktada sürekli olduğuna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

   • A) 1
   • B) 2
   • C) 3
   • D) 4
   • E) 5

4. Gerçek sayılarda tanımlı bir $f$ fonksiyonunun sürekliliği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

   • A) Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ise o noktada mutlaka süreklidir.
   • B) Bir fonksiyon bir noktada sürekli ise o noktada limiti vardır ve bu limit fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir.
   • C) Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olması, o noktada sürekli olması için yeterlidir.
   • D) Sağdan ve soldan limitleri eşit olan her fonksiyon tanımlı olduğu her noktada süreklidir.
   • E) Sürekli bir fonksiyonun grafiği her zaman $x$ eksenini keser.

5. $f(x) = \begin{cases} ax + 3, & x < 1 \\ 5, & x = 1 \\ x^2 + b, & x > 1 \end{cases}$ fonksiyonu $x = 1$ noktasında sürekli olduğuna göre $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

   • A) 4
   • B) 6
   • C) 7
   • D) 8
   • E) 10

6. $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2}, & x \neq 2 \\ m, & x = 2 \end{cases}$ fonksiyonu tüm gerçek sayılarda sürekli olduğuna göre $m$ değeri kaçtır?

   • A) 4
   • B) 2
   • C) 0
   • D) $-2$
   • E) $-4$

7. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f(x) = \begin{cases} 2x + k, & x \le 3 \\ x^2 - 1, & x > 3 \end{cases}$ parçalı fonksiyonunun $x = 3$ noktasında sürekli olması için $k$ kaç olmalıdır?

   • A) $-2$
   • B) $0$
   • C) $1$
   • D) $4$
   • E) $2$

8. Bir $f(x)$ fonksiyonunun tanımlı olduğu $x = a$ noktasında sürekli olabilmesi için aşağıdaki koşullardan hangisinin sağlanması zorunludur?

   • A) Fonksiyonun o noktada türevinin sıfır olması
   • B) Yalnızca sağdan limitinin var olması
   • C) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ eşitliğinin sağlanması
   • D) $f(a)$ değerinin sıfıra eşit olması
   • E) Fonksiyonun o noktada en büyük değerini alması

9. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonunun grafiği orijinden geçen bir doğrudur. $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 4$ olduğuna göre, $\lim_{x \to 0} \frac{f(3x)}{2x}$ limitinin değeri kaçtır?

   • A) 2
   • B) 4
   • C) 6
   • D) 8
   • E) 12

10. Aşağıda $f(x) = \sqrt{x + 5} - 3$ fonksiyonu veriliyor. Buna göre, $\lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x - 4}$ limitinin değeri kaçtır?

    • A) $\frac{1}{3}$
    • B) $\frac{1}{6}$
    • C) $\frac{1}{12}$
    • D) 6
    • E) 0

11. $m$ ve $n$ birer gerçel sayı olmak üzere, $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + mx - 15}{x - 3} = n$ eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, $m + n$ toplamı kaçtır?

    • A) 10
    • B) 8
    • C) 6
    • D) 4
    • E) 2

12. Gerçel sayılarda tanımlı $f(x) = x^3 - 8$ ve $g(x) = x^2 - 4$ fonksiyonları veriliyor. Buna göre, $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)}$ limitinin değeri kaçtır?

    • A) 2
    • B) $\frac{3}{2}$
    • C) $\frac{4}{3}$
    • D) 3
    • E) 4

13. Birbirinden farklı $a$ ve $b$ gerçel sayıları için $\lim_{x \to a} \frac{x^2 - ax}{x^2 - a^2}$ ifadesi tanımlanıyor. Buna göre, bu limitin değeri kaçtır?

    • A) 0
    • B) $\frac{1}{2}$
    • C) 1
    • D) 2
    • E) $a$

14. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu için $\lim_{x \to 4} \frac{f(x) - 6}{x - 4} = 3$ eşitliği veriliyor. Buna göre, $\lim_{x \to 4} \frac{[f(x)]^2 - 36}{x^2 - 16}$ limitinin değeri kaçtır?

    • A) $\frac{9}{2}$
    • B) 3
    • C) 6
    • D) 9
    • E) $\frac{9}{4}$

15. Aşağıda gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir $f$ fonksiyonunun bazı $x$ değerleri için aldığı değerler verilmiştir. $x = 1$ noktasındaki teğetinin eğimi 5 ve $f(1) = 0$ olduğuna göre, $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2 - 1}$ limitinin değeri kaçtır?

    • A) $\frac{5}{4}$
    • B) 5
    • C) 0
    • D) $\frac{5}{2}$
    • E) 10

16. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = x^2 - 9$ ve $g(x) = x - 3$ fonksiyonları veriliyor. Buna göre, $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{g(x)}$ limitinin değeri kaçtır?

    • A) 0
    • B) 3
    • C) 6
    • D) 9
    • E) Yoktur

17. Payı negatif bir sayıya, paydası sıfıra yaklaşan rasyonel ifadelerin limit analizi yapılmaktadır. Buna göre $\lim_{x \to 3^+} \frac{2 - x}{(x - 3)^3}$ limitinin değeri nedir?

    • A) $+\infty$
    • B) $0$
    • C) $-1$
    • D) $1$
    • E) $-\infty$

18. Bir rasyonel ifadede paydanın tam kare olması durumunda limitin sonsuzdaki davranışı incelenmektedir. Buna göre $\lim_{x \to -1} \frac{1 - 2x}{(x + 1)^2}$ limitinin değeri nedir?

    • A) $-\infty$
    • B) $+\infty$
    • C) $3$
    • D) $-3$
    • E) $0$

19. Cebirsel bir fonksiyonun belirli bir noktadaki iki taraflı limitinin varlığı, sağ ve sol limitlerin incelenmesiyle belirlenir. Buna göre $\lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x - 2}$ limitinin durumu hakkında hangisi doğrudur?

    • A) Limiti $+\infty$'dur.
    • B) Limiti $-\infty$'dur.
    • C) Sağdan limit $+\infty$, soldan limit $-\infty$ olduğundan limit yoktur.
    • D) Limiti $3$'tür.
    • E) Limiti $0$'dır.

20. Bölüm biçimindeki cebirsel fonksiyonlarda payın sıfırdan farklı bir sayıya, paydanın ise sıfıra yaklaştığı durumlar analiz edilmektedir. Buna göre $\lim_{x \to 5^+} \frac{x^2 - 4x}{5 - x}$ limitinin değeri nedir?

    • A) $+\infty$
    • B) $5$
    • C) $0$
    • D) $-\infty$
    • E) $-5$

Doğru cevaplar ve adım adım çözümler testi tamamladıktan sonra gösterilir.