Gerçek Sayı Dizileri Kazanım Test Çöz

Sorular

1. 1.

   $f(x) = (-1)^{\lfloor x \rfloor}$ fonksiyonu ile genel terimi $a_n = (-1)^n$ olan dizi veriliyor. Bu iki modelin tanım ve değer özellikleri karşılaştırıldığında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

   • A) $(a_n)$ dizisinin değer kümesi ile $f(x)$ fonksiyonunun görüntü kümesi aynı olup $\{-1, 1\}$'dir.
   • B) $(a_n)$ dizisi monoton artan bir dizidir.
   • C) $f(x)$ fonksiyonu $\mathbb{R}^+$ kümesinde süreklidir.
   • D) $(a_n)$ dizisi bir sabit dizidir.
   • E) Her iki matematiksel nesnenin de tanım kümesi pozitif tam sayılardan oluşur.
2. 2.

   Pozitif gerçek sayılarda tanımlı bir $f(x)$ fonksiyonu ile genel terimi $a_n = f(n)$ olan bir $(a_n)$ dizisi tanımlanmıştır. Buna göre aşağıdaki öncüllerden hangisi her zaman doğrudur?

   • A) $(a_n)$ dizisi monoton artan ise $f(x)$ fonksiyonu da daima artandır.
   • B) $f(x)$ fonksiyonunun görüntü kümesi ile $(a_n)$ dizisinin değer kümesi eşit elemanlıdır.
   • C) $f(x)$ fonksiyonu kesin artan bir fonksiyon ise $(a_n)$ dizisi de monoton artandır.
   • D) $(a_n)$ dizisi sınırlı bir dizi ise $f(x)$ fonksiyonu da daima sınırlıdır.
   • E) $f(x)$ fonksiyonunun kök sayısı ile $(a_n)$ dizisinin sıfıra eşit olan terim sayısı eşittir.
3. 3.

   $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sin(\pi x)$ fonksiyonu ile genel terimi $a_n = \sin(n\pi)$ olan dizi ele alınıyor. Bu iki yapının görüntü ve değer kümeleri karşılaştırıldığında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğru olur?

   • A) Her ikisinin de görüntü kümesi $[-1, 1]$ kapalı aralığıdır.
   • B) $f(x)$ fonksiyonu periyodik değildir, $(a_n)$ dizisi ise periyodiktir.
   • C) $(a_n)$ dizisinin tüm terimleri 0'a eşit olan sabit bir dizidir ancak $f(x)$ sabit fonksiyon değildir.
   • D) $f(x)$ fonksiyonunun sıfırları ile $(a_n)$ dizisinin sıfırları tamamen farklı kümelere sahiptir.
   • E) $(a_n)$ dizisi üstten sınırsız bir dizidir.
4. 4.

   $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 7x + 10$ fonksiyonu ile genel terimi $a_n = n^2 - 7n + 10$ olan $(a_n)$ dizisi tanımlanıyor. Buna göre $f(x)$ fonksiyonu ile $(a_n)$ dizisinin monotonluk durumları hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • A) $f(x)$ fonksiyonu $(0, 3{,}5)$ aralığında azalan iken $(a_n)$ dizisi $n \ge 3$ için monoton artandır.
   • B) $f(x)$ fonksiyonu daima artandır, $(a_n)$ dizisi ise monoton azalandır.
   • C) Her iki yapının da azalanlıktan artanlığa geçtiği nokta aynıdır.
   • D) $(a_n)$ dizisi tüm terimleri için kesin monoton azalandır.
   • E) $f(x)$ fonksiyonunun yerel minimum noktası bulunmazken dizinin en küçük terimi vardır.
5. 5.

   Pozitif gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonu ile genel terimi $a_n = \frac{1}{n}$ olan dizi karşılaştırıldığında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • A) Her iki matematiksel yapının da tanım kümeleri aynıdır.
   • B) $f(x)$ fonksiyonunun görüntü kümesi ile $(a_n)$ dizisinin değer kümesi birbirine eşittir.
   • C) $(a_n)$ dizisinin grafiği, $f(x)$ fonksiyonunun grafiği üzerindeki ayrık noktalardan oluşur.
   • D) $f(x)$ azalan bir fonksiyon iken $(a_n)$ dizisi monoton artan bir dizidir.
   • E) $\frac{2}{3}$ sayısı hem $(a_n)$ dizisinin bir terimidir hem de $f(x)$ fonksiyonunun bir değeridir.

Doğru cevaplar ve adım adım çözümler testi tamamladıktan sonra gösterilir.