Havuz Problemleri Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Birim Zaman Yaklaşımı

   Havuz problemleri, özü itibarıyla işçi problemlerinin akışkanlar mekaniği modellerine uyarlanmış halidir. Bu problemlerde temel prensip, bir musluğun tüm havuzu doldurma veya boşaltma süresi üzerinden 1 birim zamanda (genellikle 1 saat veya 1 dakika) havuzun ne kadarlık kısmını etkilediğini belirlemektir.

   Bir musluk boş bir havuzun tamamını tek başına $a$ saatte doldurabiliyorsa:

   • 1 saatte havuzun $\frac{1}{a}$ kadarlık kısmını doldurur.
   • $t$ saatte havuzun $\frac{t}{a}$ kadarlık kısmını doldurur.

   Benzer şekilde, dolu bir havuzu tek başına $b$ saatte boşaltabilen bir musluk, 1 saatte havuzun $\frac{1}{b}$ kadarlık kısmını boşaltır.

   Dolduran ve Boşaltan Muslukların Etkileşimi

   Aynı anda açık olan birden fazla musluğun havuza olan net etkisi, birim zamanda yapılan işlerin cebirsel toplamı ile hesaplanır. Dolduran musluklar pozitif, boşaltan musluklar ise negatif katkı sağlar.

   Örneğin; bir havuzu birinci musluk tek başına $a$ saatte, ikinci musluk tek başına $b$ saatte dolduruyor ve tabandaki bir boşaltma musluğu tek başına $c$ saatte boşaltıyorsa, üçü birlikte açıldığında havuzun $t$ saatte dolması için gereken bağıntı:

   $$\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{c}\right) \cdot t = 1$$

   Burada eşitliğin sağ tarafındaki 1 değeri, havuzun tamamının dolduğunu (işin bittiğini) temsil eder. Eğer havuzun belirli bir kesrinin (örneğin $\frac{x}{y}$'sinin) dolması isteniyorsa eşitliğin sağına bu kesir yazılır.

   Yükseklik Seviyelerine Göre Etki Alanı

   Tüm musluklar her zaman havuzun tabanında yer almaz. Havuzun yan yüzeylerine veya belirli yüksekliklerine yerleştirilen boşaltma muslukları, yalnızca kendi seviyelerinin üstünde kalan su hacmini boşaltabilir.

   • Seviye Ayrımı: Havuz, muslukların bulunduğu yüksekliklere göre hayali yatay katmanlara bölünmelidir.
   • Bölgesel Hesaplama: Her bir katman için yalnızca o katmana etki edebilen muslukların debileri hesaba katılır.
   • Kademeli Süre: Her bölmenin dolma veya boşalma süresi ayrı ayrı hesaplanarak toplam süreye eklenir.

   Örneğin, ortasında bir boşaltma musluğu bulunan bir havuz doldurulurken, alt yarı dolana kadar boşaltma musluğu su seviyesinin üzerinde kaldığından devreye girmez; yalnızca üst yarı dolarken akışa başlar.

   Model Problem

   Hacmi sabit bir havuzu A musluğu tek başına 6 saatte, B musluğu ise 12 saatte doldurmaktadır. Havuzun tabanında bulunan C boşaltma musluğu ise dolu havuzu tek başına 8 saatte boşaltabilmektedir. Üç musluk aynı anda açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?

   Çözüm Adımları

   1. Birim Zaman Kapasiteleri:
      A musluğu 1 saatte $\frac{1}{6}$'sını doldurur.
      B musluğu 1 saatte $\frac{1}{12}$'sini doldurur.
      C musluğu 1 saatte $\frac{1}{8}$'ini boşaltır.
   2. Ortak Denklem:
      $$\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{12} - \frac{1}{8}\right) \cdot t = 1$$
   3. Payda Eşitleme (24'te):
      $$\left(\frac{4}{24} + \frac{2}{24} - \frac{3}{24}\right) \cdot t = 1$$
      $$\frac{3}{24} \cdot t = 1 \implies \frac{1}{8} \cdot t = 1 \implies t = 8\text{ saat}$$

   Sonuç olarak, üç musluk birlikte açık kaldığında havuz 8 saatte tamamen dolar.