Kesir ve Kesir Türleri Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Kesir Kavramı

   Bir bütünün eş parçalarından birini veya birkaçını ifade eden sayılara kesir denir. Matematiksel olarak kesir, pay ve payda olmak üzere iki temel öğeden ve bunları ayıran kesir çizgisinden oluşur.

   Genel gösterimi $\frac{a}{b}$ biçimindedir. Bu ifadede:

   • Pay ($a$): Bütünün eş parçalarından kaç tanesinin alındığını gösterir.
   • Payda ($b$): Bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü belirtir. Sıfıra bölme tanımsız olduğundan payda hiçbir zaman sıfır olamaz ($b \neq 0$).
   • Kesir Çizgisi: Bölme işlemini sembolize eder.

   Kesir Türleri: Basit ve Bileşik

   Kesirler, pay ve paydalarının mutlak değerce büyüklük ilişkilerine göre sınıflandırılır.

   1. Basit Kesir

   İşaretine bakılmaksızın, payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesirlere basit kesir denir. Pozitif basit kesirler daima 0 ile 1 aralığında yer alır.

   Koşul: $|a| < |b|$

   Örnekler: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{9}$

   2. Bileşik Kesir

   Payı paydasına mutlak değerce eşit veya paydasından büyük olan kesirlere bileşik kesir denir. Pozitif bileşik kesirler 1'e eşit veya 1'den büyüktür.

   Koşul: $|a| \ge |b|$

   Örnekler: $\frac{4}{4}$, $\frac{7}{3}$, $\frac{11}{8}$

   Tam Sayılı Kesirler

   Sıfır hariç bir tam sayı ve bir basit kesrin birleşiminden oluşan kesirlere tam sayılı kesir denir. Tam sayılı kesirler özünde birer bileşik kesirdir.

   Genel biçimi $c \frac{a}{b}$ şeklindedir ve $c + \frac{a}{b}$ anlamına gelir.

   Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Dönüştürme

   Pay, paydaya bölünür:

   • Bölüm, tam kısım olarak yazılır.
   • Kalan, yeni kesrin payı olur.
   • Bölen (ilk payda), değişmeden payda olarak kalır.

   Örnek: $\frac{17}{5}$ kesrinde 17 beşe bölündüğünde bölüm 3, kalan 2 olur. Dolayısıyla $\frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5}$ olarak ifade edilir.

   Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Dönüştürme

   Tam kısım payda ile çarpılır, elde edilen sonuca pay eklenir ve bu değer yeni paya yazılır; payda aynen korunur:

   $c \frac{a}{b} = \frac{(c \cdot b) + a}{b}$

   Denk Kesirler

   Farklı sayılarla ifade edilmelerine rağmen bir bütünün aynı miktarını gösteren kesirlere denk kesirler denir. Denklik durumu $\equiv$ sembolüyle gösterilir.

   Genişletme

   Bir kesrin pay ve paydasının sıfırdan farklı aynı pozitif tam sayı ile çarpılması işlemidir. Bu işlem kesrin değerini değiştirmez.

   $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} \quad (k \neq 0)$

   Sadeleştirme

   Bir kesrin pay ve paydasının her ikisini birden bölen sıfırdan farklı bir tam sayıya bölünmesi işlemidir.

   $\frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k} \quad (k \neq 0)$

   Pay ve paydanın 1 dışında ortak böleni kalmadığında kesir en sade halinde bulunur.