Tam Sayılar Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Tam Sayılar Kümesi ve Temel Aksiyomlar

   Tam sayılar kümesi, $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ biçiminde tanımlanan, toplama ve çarpma işlemlerine göre bir tamlık bölgesi (integral domain) oluşturan cebirsel bir yapıdır.

   Tam sayılar teorisinin aksiyomatik temelinde yer alan en temel ilkelerden biri İyi Sıralama İlkesidir (Well-Ordering Principle):

   • İyi Sıralama İlkesi: Boş olmayan her negatif olmayan tam sayılar alt kümesinin en az bir en küçük elemanı vardır.
   • Bu ilke, matematiksel tümevarım yöntemiyle mantıksal olarak denktir ve bölme algoritmasının varlık ispatında temel teşkil eder.

   Bölünebilme Bağıntısı

   $a, b \in \mathbb{Z}$ ve $a \neq 0$ olsun. Eğer $b = a \cdot c$ olacak biçimde bir $c \in \mathbb{Z}$ tam sayısı varsa, $a$ sayısı $b$'yi böler denir ve bu durum $a \mid b$ biçiminde gösterilir.

   Bölme Algoritması Teoremi

   $a, b \in \mathbb{Z}$ ve $b > 0$ olsun. Bu durumda,

   $a = b \cdot q + r$ ve $0 \leq r < b$

   şartlarını sağlayan tek bir $(q, r)$ tam sayı ikilisi vardır. Burada $q$ bölüm, $r$ ise kalan olarak adlandırılır.

   En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve Bézout Özdeşliği

   Sıfırdan farklı $a, b \in \mathbb{Z}$ tam sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğüne en büyük ortak bölen denir ve $\gcd(a, b)$ şeklinde gösterilir.

   • Bézout Özdeşliği: $\gcd(a, b) = d$ ise, $a \cdot x + b \cdot y = d$ eşitliğini sağlayan en az bir $x, y \in \mathbb{Z}$ ikilisi vardır.
   • Aralarında Asallık: $\gcd(a, b) = 1$ ise $a$ ve $b$ sayıları aralarında asaldır.

   Öklid Algoritması

   İki sayının EBOB'unu bulmak için ardışık bölme işlemi uygulanır:

   $a = b \cdot q_1 + r_1$ (burada $0 \leq r_1 < b$)
   $b = r_1 \cdot q_2 + r_2$ (burada $0 \leq r_2 < r_1$)
   Kalan sıfır olana kadar devam edildiğinde, sıfırdan farklı son kalan $\gcd(a, b)$ değerini verir.

   Asal Sayı Tanımı ve Öklid Lemması

   $p > 1$ tam sayısı yalnızca 1 ve kendisi ile bölünebiliyorsa asal sayıdır.

   • Öklid Lemması: Bir $p$ asal sayısı $a \cdot b$ çarpımını bölüyorsa, $p \mid a$ veya $p \mid b$ olmak zorundadır.

   Aritmetiğin Temel Teoremi

   Birden büyük her tam sayı, asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. Bu yazılış, asal çarpanların diziliş sırası dikkate alınmadığında tektir:

   $n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}$

   Burada her $p_i$ farklı bir asal sayı, her $k_i$ ise pozitif bir tam sayıdır.