Ebob - Ekok Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)

   İki veya daha fazla pozitif tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB, ortak katlarının en küçüğüne ise EKOK denir.

   Pozitif tam sayılar asal çarpanlarına ayrıldığında:

   • EBOB: Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanların çarpımı ile bulunur.
   • EKOK: Ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak olmayan tüm asal çarpanların çarpımı ile bulunur.

   Örnek: $a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ ve $b = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$ sayıları için;

   $EBOB(a, b) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$
   $EKOK(a, b) = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 27 \cdot 35 = 7560$ olarak elde edilir.

   EBOB ve EKOK Arasındaki Bağıntılar

   İki pozitif tam sayı $a$ ve $b$ olmak üzere aşağıdaki temel kurallar geçerlidir:

   1. Çarpım Kuralı: İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB ve EKOK değerlerinin çarpımına eşittir.
      $$a \cdot b = EBOB(a, b) \cdot EKOK(a, b)$$
   2. Aralarında Asal Sayılar: Sayıların ortak böleni yalnızca 1 ise bu sayılar aralarında asaldır. Bu durumda:
      $EBOB(a, b) = 1$
      $EKOK(a, b) = a \cdot b$
   3. Birbirinin Katı Olan Sayılar: Eğer $a$ sayısı $b$ sayısının bir tam katı ise ($a = k \cdot b$, $k \in \mathbb{Z}^+$):
      $EBOB(a, b) = b$
      $EKOK(a, b) = a$

   Not: Çarpım kuralı yalnız iki sayı için geçerlidir; üç veya daha fazla sayı için doğrudan genellenemez.

   Hangi Problemde EBOB, Hangisinde EKOK Kullanılır?

   Problemlerin çözümünde doğru yöntemi seçmek için sorunun yönüne ve amacına odaklanılmalıdır:

   • EBOB Problemleri (Bütünden Parçaya): Büyük parçaların daha küçük eşit parçalara ayrılması hedeflenir. Örneğin; çuvallardaki ürünlerin eşit hacimli paketlere paylaştırılması, bir bahçenin etrafına eşit aralıklarla fidan dikilmesi veya bir kumaşın eşit uzunlukta kesilmesi.
   • EKOK Problemleri (Parçadan Bütüne / Periyot): Küçük parçalardan büyük bir bütün oluşturulması veya belirli aralıklarla tekrarlanan durumların aynı anda gerçekleşmesi incelenir. Örneğin; nöbet tutma, duraktan kalkan araçların aynı anda sefere çıkışı, fayanslarla kare bir zemin kaplama veya cevizlerin üçerli/beşerli sayıldığında artması.

   Kalanlı Bölme ve Rasyonel Sayılarda İşlemler

   Kalanlı Kat Problemleri: Bir $A$ pozitif tam sayısı sırasıyla $x$, $y$ ve $z$ sayılarına bölündüğünde aynı $k$ kalanını veriyorsa:
   $A = m \cdot x + k = n \cdot y + k = p \cdot z + k$
   Bu durumda $A - k$ ifadesi $x$, $y$ ve $z$ sayılarının ortak katıdır. Dolayısıyla $A - k = EKOK(x, y, z) \cdot t$ biçiminde ifade edilir.

   Rasyonel Sayılarda EBOB ve EKOK: En sade biçimindeki kesirler için aşağıdaki bağıntılar kullanılır:

   $EBOB\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right) = \frac{EBOB(a, c)}{EKOK(b, d)}$

   $EKOK\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right) = \frac{EKOK(a, c)}{EBOB(b, d)}$

   Bu kurallar uygulanırken kesirlerin pay ve paydalarının aralarında asal olacak şekilde sadeleştirilmiş olması gereklidir.