Sayma Sistemleri Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Konumsal sayma sistemleri, bir sayının büyüklüğünü kullanılan rakamların dizilimdeki konumlarına ve seçilen taban değerine göre belirleyen matematiksel modellerdir. Taban olarak seçilen $b$ tam sayısı için $b \ge 2$ koşulu sağlanmalıdır.

   Bir pozitif $N$ tam sayısı, $b$ tabanında tek türlü (unique) olarak aşağıdaki polinom biçiminde ifade edilir:

   $N = a_k b^k + a_{k-1} b^{k-1} + \dots + a_1 b^1 + a_0 b^0$

   Burada her bir katsayı için $0 \le a_i < b$ ve en yüksek dereceli basamak için $a_k \ne 0$ koşulları geçerlidir. Bu gösterim kısaca $N = (a_k a_{k-1} \dots a_1 a_0)_b$ şeklinde yazılır.

   • Basamak Değeri: Bir rakamın bulunduğu basamağa karşılık gelen $b^i$ ağırlığıdır.
   • Sayı Değeri: İlgili basamakta bulunan $a_i$ katsayısının kendi nicel değeridir.

   Farklı tabanlar arasındaki geçişlerde iki temel algoritma uygulanır: onluk tabana geçiş ve onluk tabandan hedeflenen tabana geçiş.

   1. $b$ Tabanından Onluk Tabana Geçiş

   Verilen $(a_k a_{k-1} \dots a_0)_b$ sayısının terimleri açılarak toplanır. Bu işlem hesaplama karmaşıklığını azaltmak için Horner yöntemi ile $((a_k b + a_{k-1})b + \dots )b + a_0$ biçiminde ardışık çarpma ve toplama adımlarıyla da yürütülebilir.

   2. Onluk Tabandan $b$ Tabanına Geçiş (Ardışık Bölme)

   Onluk tabandaki bir sayı hedef taban olan $b$ değerine bölünür. Bölüm tekrar $b$'ye bölünerek bölüm sıfır olana kadar işleme devam edilir. Her adımdaki kalanlar sırasıyla en küçük basamaktan en büyük basamağa doğru dizilir:

   1. İlk bölme işleminden elde edilen kalan en düşük anlamlı basamaktır ($a_0$).
   2. Son bölme işlemindeki sıfırdan farklı kalan en yüksek anlamlı basamaktır ($a_k$).

   Tabanlar birbirinin tam kuvveti olduğunda (örneğin $2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$), basamaklar gruplanarak doğrudan dönüştürme yapılabilir.

   Herhangi bir $b$ tabanında dört işlem, onluk tabandaki aritmetik kuralların aynı mantığıyla yürütülür; temel fark eldelerin ve borçların taban değerine eşit olmasıdır.

   • Toplama İşlemi: Aynı basamaktaki rakamların toplamı $S$ olduğunda, eğer $S \ge b$ ise tabana bölünür. Kalan o basamağa yazılır, bölüm ise bir üst basamağa elde (carry) olarak aktarılır.
   • Çıkarma İşlemi: Eksilen rakam çıkan rakamdan küçük olduğunda, solundaki basamaktan 1 birim alınır. Bu birim işlenen basamağa $1$ değil, taban büyüklüğü olan $b$ kadar değer katar.
   • Çarpma İşlemi: Basamak çarpımlarının toplamı $b$'ye bölünerek kalan yazılır, bölüm elde olarak bir sonraki çarpıma eklenir.

   Matematiksel mantık ve hesaplama kuramında standart tabanların yanı sıra işaretli ve simetrik sayma sistemleri de kullanılır.

   • İkili (Binary - Taban 2): Yalnızca $\{0, 1\}$ simgelerini kullanır ve Boolean mantığının doğrudan fiziksel karşılığıdır.
   • Onaltılı (Hexadecimal - Taban 16): $\{0, 1, \dots, 9, A, B, C, D, E, F\}$ simgelerinden oluşur. Bellek adresleme ve veri temsili için kullanılır.
   • Dengeli Üçlü Sistem (Balanced Ternary): Tabanı 3 olup rakam kümesi $\{-1, 0, 1\}$ olarak tanımlanır. Ayrı bir işaret biti gerektirmeden negatif sayıların simetrik temsilini sağlar.

   Bu sistemler, basamak kavramının soyut cebirdeki halka ve modüler aritmetik yapılarıyla doğrudan örtüştüğünü gösterir.