Faktöriyel Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Faktöriyel Nedir?

   1'den başlayarak belirli bir n doğal sayısına kadar olan ardışık pozitif tam sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! sembolü ile gösterilir.

   Matematiksel tanım gereği:

   • $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dotsm (n-1) \cdot n$
   • $0! = 1$ (Tanım gereği kabul edilir)
   • $1! = 1$
   • $2! = 1 \cdot 2 = 2$
   • $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
   • $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
   • $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

   Faktöriyelli İfadeleri Birbiri Cinsinden Yazma

   Büyük değerli bir faktöriyel, kendisinden küçük herhangi bir faktöriyel cinsinden çarpanlarına ayrılarak yazılabilir:

   $n! = n \cdot (n - 1)!$
   $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)!$

   Örnek Uygulama:

   $\frac{8! + 7!}{6!}$ ifadesinin değerini bulmak için tüm terimler ortak en küçük faktöriyel olan 6! veya 7! parantezine alınır:

   $8! = 8 \cdot 7!$ olduğundan pay kısmı:
   $8 \cdot 7! + 1 \cdot 7! = 7! \cdot (8 + 1) = 9 \cdot 7!$

   Payda ile sadeleştirme yapıldığında:
   $\frac{9 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 9 \cdot 7 = 63$ elde edilir.

   Bir Faktöriyelin Asal Çarpanlarının Kuvveti

   n! sayısının içerisinde p asal sayısının kaç defa çarpan olarak bulunduğunu hesaplamak için ardışık bölme yöntemi (Legendre Formülü) uygulanır.

   n sayısı p asalına bölünür; elde edilen bölümler tekrar p'ye bölünmeye devam eder. Bölme işlemi bölüm p'den küçük olana kadar sürdürülür ve tüm bölümler toplanır.

   $E_p(n!) = \lfloor \frac{n}{p} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^3} \rfloor + \dotsm$

   Örnek:

   45! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için içinde kaç tane 10 çarpanı olduğu aranır. $10 = 2 \cdot 5$ olduğundan belirleyici olan büyük asal çarpan yani 5'tir.

   • 45 / 5 = 9
   • 9 / 5 = 1

   Bölümler toplamı: $9 + 1 = 10$. Buna göre 45! sayısının sondan 10 basamağı sıfırdır.