Doğrunun Analitiği Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Eğim Kavramı

   Bir doğrunun analitik düzlemde x ekseni ile pozitif yönde (saat yönünün tersi) yaptığı açıya eğim açısı denir. Bu açının tanjant değerine ise doğrunun eğimi adı verilir ve genellikle m harfi ile gösterilir.

   • Eğim açısı $\alpha$ dar açı ise ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$) eğim pozitiftir: $m = \tan\alpha > 0$.
   • Eğim açısı $\alpha$ geniş açı ise ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) eğim negatiftir: $m = \tan\alpha < 0$.
   • x eksenine paralel doğruların eğim açısı $0^\circ$ olup eğimi $m = \tan 0^\circ = 0$ olur.
   • y eksenine paralel doğruların eğim açısı $90^\circ$ olup $\tan 90^\circ$ tanımsız olduğundan bu doğruların eğimi tanımsızdır.

   Analitik düzlemde $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi ordinatlar farkının apsisler farkına oranıyla bulunur:

   $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad (x_1 \ne x_2)$$

   Temel Doğru Denklemleri

   Bir doğrunun geometrik yer denklemini kurmak için üzerindeki noktaların sağladığı cebirsel bağıntı ifade edilir.

   1. Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi

   Eğimi m olan ve $A(x_1, y_1)$ noktasından geçen doğrunun denklemi:

   $$y - y_1 = m(x - x_1)$$

   2. İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi

   $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarından geçen doğrunun denklemi, eğim bağıntısının genelleştirilmesiyle elde edilir:

   $$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

   3. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğru Denklemi

   x eksenini $(a, 0)$ ve y eksenini $(0, b)$ noktalarında kesen doğrunun denklemi:

   $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

   4. Genel Doğru Denklemi

   $a, b, c \in \mathbb{R}$ ve a ile b aynı anda sıfır olmamak üzere, her doğru $$ax + by + c = 0$$ biçiminde ifade edilir. Bu denklemde $b \ne 0$ iken eğim $m = -\frac{a}{b}$ olur.

   Doğruların Karşılıklı Konumları

   Denklemleri $d_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ ve $d_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ olan iki doğru incelendiğinde üç temel durum ortaya çıkar:

   • Paralellik: Doğrular kesişmiyorsa eğimleri eşittir. Katsayılar arasında $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$$ orantısı bulunur. Bu durumda $m_1 = m_2$ olur.
   • Çakışıklık: İki doğru tüm noktalarda örtüşüyorsa sonsuz ortak nokta vardır: $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$
   • Tek Noktada Kesişme: Eğimleri farklı olan doğrular tek bir noktada kesişir: $$\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$$ Kesişim noktası, iki denklemin ortak çözülmesiyle bulunur.

   Dik Kesişen Doğrular

   Birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı $-1$'dir (eksenlere paralel olmayan doğrular için):

   $$d_1 \perp d_2 \iff m_1 \cdot m_2 = -1$$

   Noktanın Doğruya ve Paralel Doğruların Birbirine Uzaklığı

   Geometrik hesaplamalarda en kısa mesafe her zaman dik uzaklıktır.

   Noktanın Doğruya Uzaklığı

   $A(x_0, y_0)$ noktasının $ax + by + c = 0$ doğrusuna olan dik uzaklığı $d$:

   $$d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

   Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık

   Eğimleri aynı olan $d_1: ax + by + c_1 = 0$ ve $d_2: ax + by + c_2 = 0$ paralel doğruları arasındaki uzaklık $l$:

   $$l = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

   Not: Bu bağıntı uygulanmadan önce her iki denklemdeki x ve y katsayılarının eşitlendiğinden emin olunmalıdır.