Üçgende Benzerlik Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Benzerlik Tanımı

   İki üçgenin karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşit ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları birbiriyle orantılı ise bu iki üçgene benzer üçgenler denir. Benzerlik ilişkisi $\sim$ sembolü ile ifade edilir.

   $ABC$ ve $DEF$ üçgenleri için:

   • $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$, $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$, $m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})$
   • $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k$

   Burada elde edilen pozitif $k$ reel sayısına benzerlik oranı denir. İki üçgenin benzerliği yazılırken açıların eşleşme sırasına dikkat edilerek $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ şeklinde yazılır.

   1. Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Teoremi

   İki üçgenin karşılıklı ikişer açısının ölçüsü eşit ise üçgenlerin üçüncü açıları da mecburen eşit olacağından bu üçgenler benzerdir. Geometride en sık kullanılan benzerlik kuralıdır.

   2. Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Benzerlik Teoremi

   İki üçgenin karşılıklı birer açısının ölçüsü eşit ve bu açıları oluşturan kenar uzunlukları karşılıklı olarak orantılı ise bu üçgenler benzerdir.

   Örneğin; $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$ ve $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|DF|}$ ise $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ olur.

   3. Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Benzerlik Teoremi

   İki üçgenin karşılıklı bütün kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenlerin karşılıklı açıları da eşittir ve üçgenler benzerdir.

   Temel Orantı Teoremi

   Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarını farklı noktalarda kesen bir doğru, kestiği kenarları orantılı parçalara ayırır.

   $\triangle ABC$ üçgeninde $[DE] // [BC]$ olmak üzere $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ ise:

   • Orantılı Parçalar: $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}$
   • Üçgen Benzerliği (A.A.): $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ bağıntısından $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|}$ elde edilir.

   Kelebek (Kum Saati) Benzerliği

   İki doğrunun kesişimiyle oluşan ve tabanları birbirine paralel olan ters açılı iki üçgende (iç ters açılardan ötürü) doğrudan benzerlik kurulur. Tabanların oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir.

   Yardımcı Elemanların Oranı

   Benzer iki üçgende karşılıklı kenarlar arasındaki oran ne ise, bu kenarlara ait karşılıklı yardımcı elemanlar arasındaki oran da aynıdır.

   Benzerlik oranı $k$ olan iki üçgen için:

   • Karşılıklı yüksekliklerin oranı: $\frac{h_a}{h_d} = k$
   • Karşılıklı açıortayların oranı: $\frac{n_A}{n_D} = k$
   • Karşılıklı kenarortayların oranı: $\frac{V_a}{V_d} = k$
   • Üçgenlerin çevreleri oranı: $\frac{\text{Çevre}(ABC)}{\text{Çevre}(DEF)} = k$

   Alanlar Oranı

   Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir:

   $$\frac{\text{Alan}(ABC)}{\text{Alan}(DEF)} = k^2$$