Ücretsiz Kullanmaya Başla

Üçgende Açılar Konu Anlatımı

AYT-EA · AYT-EA · Geometri · Üçgende Açılar

AYT-EA Geometri dersi Üçgende Açılar konu anlatımı.

Konu anlatımı notları

  1. 1. Temel Açı Bağıntıları

    Bir düzlemde doğrusal olmayan üç noktanın birleşimiyle oluşan geometrik şekle üçgen denir. Bir üçgenin açı özellikleri öklid geometrisinin en temel yapı taşlarındandır.

    • İç Açıların Toplamı: Herhangi bir ABCABC üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı daima 180∘180^\circ'dir.
      m(A^)+m(B^)+m(C^)=180∘m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ
    • Dış Açıların Toplamı: Bir üçgenin her köşesine ait birer dış açısının ölçüleri toplamı daima 360∘360^\circ'dir.
      m(A^′)+m(B^′)+m(C^′)=360∘m(\widehat{A}') + m(\widehat{B}') + m(\widehat{C}') = 360^\circ
    • Bütünler Açı İlişkisi: Bir köşedeki iç açı ile o köşeye ait dış açı birbirini 180∘180^\circ'ye tamamlar.

    2. Bir Dış Açının Ölçüsü

    Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. Bu bağıntı açı sorularında doğrudan işlem kolaylığı sağlar.

    Örneğin bir ABCABC üçgeninde CC köşesine ait dış açı m(ACD^)m(\widehat{ACD}) ise:

    m(ACD^)=m(A^)+m(B^)m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})

    Bumerang (Şalvar) Bağıntısı

    Konveks olmayan dörtgenlerde veya içbükey geometrik düzenlerde, içte kalan üç açının toplamı dıştaki geniş açıya eşittir. Köşeleri A,B,CA, B, C içe bükük köşesi DD olan bir yapıda:

    m(BDC^)=m(A^)+m(B^)+m(C^)m(\widehat{BDC}) = m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})

    3. Özel Üçgenlerde Açı Dağılımı

    Kenar uzunlukları arasındaki eşitlikler doğrudan açı eşitliklerini doğurur.

    İkizkenar Üçgen

    İki kenar uzunluğu eşit olan üçgendir. Eşit kenarların karşısındaki açılara taban açıları denir ve ölçüleri birbirine eşittir.

    • ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ise m(B^)=m(C^)m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) olur.
    • Tepe açısından tabana indirilen yükseklik aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır.
    Eşkenar Üçgen

    Üç kenar uzunluğu da birbirine eşit olan üçgendir. Bütün iç açıları birbirine eşit olup her birinin ölçüsü 60∘60^\circ'dir.

    • Tüm köşelerden çizilen yükseklikler aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır.

    4. Açıortay Kesişim Bağıntıları

    Bir üçgende iç ve dış açıortayların kesişmesiyle oluşan açılar pratik formüllerle ifade edilir:

    • İki İç Açıortay Arasındaki Açı: BB ve CC köşelerine ait iç açıortayların kesişim noktası II ise:
      m(BIC^)=90∘+m(A^)2m(\widehat{BIC}) = 90^\circ + \frac{m(\widehat{A})}{2}
    • İki Dış Açıortay Arasındaki Açı: BB ve CC köşelerine ait dış açıortayların kesişim noktası EE ise:
      m(BEC^)=90∘−m(A^)2m(\widehat{BEC}) = 90^\circ - \frac{m(\widehat{A})}{2}
    • Bir İç ve Bir Dış Açıortay Arasındaki Açı: Bir köşenin iç açıortayı ile diğer bir köşenin dış açıortayı bir DD noktasında kesişiyorsa:
      m(BDC^)=m(A^)2m(\widehat{BDC}) = \frac{m(\widehat{A})}{2}

    5. Dik Üçgende Önemli Açı Kuralları

    Bir açısının ölçüsü 90∘90^\circ olan üçgenlere dik üçgen denir. Dik üçgende dar açılar birbirini 90∘90^\circ'ye tamamlar (tümler açılardır).

    Muhteşem Üçlü

    Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün ayırdığı parçaların uzunluklarına eşittir. Bu durum üçgen içinde üç adet ikizkenar açı ilişkisi kurar.

    ∣BD∣=∣AD∣=∣DC∣  ⟹  m(BAC^)=90∘|BD| = |AD| = |DC| \implies m(\widehat{BAC}) = 90^\circ

    Sorularda bu üç eşitlikten herhangi ikisi verildiğinde üçüncü eşitlik ve dik açı doğrudan elde edilir.