Kenarortay Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Kenarortayın Tanımı

   Bir üçgenin bir köşesini, bu köşenin karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.

   Bir $ABC$ üçgeninde $a$, $b$ ve $c$ kenarlarına ait kenarortaylar sırasıyla $V_a$, $V_b$ ve $V_c$ sembolleri ile gösterilir.

   Temel Nitelikler

   • Bir üçgende her kenara ait bir kenarortay bulunur ve üçgenin üç kenarortayı daima üçgenin iç bölgesinde tek bir noktada kesişir.
   • Kenarortay, üzerinde bulunduğu üçgeni tabanları eşit iki üçgene ayırdığından, bu iki üçgenin yükseklikleri ortak olduğu için alanları birbirine eşittir.

   Ağırlık Merkezi

   Bir üçgenin üç kenarortayının kesiştiği noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir ve genellikle $G$ harfi ile sembolize edilir.

   Kenarortay Üzerindeki Oran

   Ağırlık merkezi, her kenarortayı köşeye $2$ birim, kenara $1$ birim uzaklıkta olacak biçimde böler:

   • Köşe ile ağırlık merkezi arasındaki mesafe, ağırlık merkezi ile kenarın orta noktası arasındaki mesafenin iki katıdır.
   • Örneğin $A$ köşesinden çizilen kenarortay üzerinde $|AG| = 2 \cdot |GD|$ bağıntısı geçerlidir. Dolayısıyla $|AG| = \frac{2}{3}V_a$ ve $|GD| = \frac{1}{3}V_a$ olur.

   Kenarortayların Alanı Paylaştırması

   Kenarortaylar üçgenin alanını belirli oranlarda simetrik ve düzenli alt alanlara ayırır:

   • Bir üçgende tek bir kenarortay çizildiğinde alan iki eşit parçaya ayrılır.
   • Üçgenin ağırlık merkezi üç köşe ile birleştirildiğinde oluşan üç üçgenin alanları birbirine eşittir: $\text{Alan}(ABG) = \text{Alan}(BCG) = \text{Alan}(CAG) = \frac{1}{3}\text{Alan}(ABC)$.
   • Üç kenarortayın tamamı çizildiğinde, üçgenin alanı ağırlık merkezinde kesişen $6$ adet eşit alana bölünür. Her bir parçanın alanı $\frac{1}{6}\text{Alan}(ABC)$ olur.
   • Kenar orta noktaları birleştirilerek oluşan orta üçgen çizildiğinde ve ağırlık merkezi ile ilişkilendirildiğinde klasik $3S - S - 2S$ alan kuralı elde edilir.

   Kenarortay Bağıntısı

   Bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarlara ait kenarortay uzunlukları arasında doğrudan bir metrik ilişki mevcuttur.

   Kenar uzunlukları $a$, $b$, $c$ olan bir $ABC$ üçgeninde, $a$ kenarına ait kenarortay $V_a$ olmak üzere teoremin temel eşitliği şu şekildedir:

   $$2V_a^2 + \frac{a^2}{2} = b^2 + c^2$$

   Bu eşitlik aynı zamanda şu biçimde de ifade edilebilir:

   $$2V_a^2 = b^2 + c^2 - \frac{a^2}{2}$$

   Üç Kenarortayın Toplamı

   Tüm kenarlar için teoremler taraf tarafa toplandığında kenarlar ve kenarortaylar arasındaki genel bağıntı elde edilir:

   $$4(V_a^2 + V_b^2 + V_c^2) = 3(a^2 + b^2 + c^2)$$

   Hipotenüse Ait Kenarortay

   Bir dik üçgende dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse indirilen kenarortay, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir. Geometride bu özellik muhteşem üçlü olarak adlandırılır.

   $m(\widehat{A}) = 90^\circ$ olan bir $ABC$ dik üçgeninde:

   • Hipotenüse ait kenarortay $V_a$ ise $|BD| = |DC| = |AD| = V_a = \frac{a}{2}$ eşitliği sağlanır.
   • Dik üçgenlerde kenarortaylar arasındaki metrik bağıntı: $$5V_a^2 = V_b^2 + V_c^2$$ olarak ifade edilir.