Dik Üçgen Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Dik Üçgen ve Temel Elemanları

   Bir iç açısının ölçüsü $90^\circ$ olan üçgenlere dik üçgen adı verilir.

   Dik üçgende $90^\circ$'lik açının karşısındaki kenara hipotenüs, dik açıyı oluşturan diğer iki kenara ise dik kenarlar denir. Hipotenüs, bir dik üçgendeki en uzun kenardır.

   • Bir dik üçgenin dar açılarının toplamı $90^\circ$'dir; yani bu açılar tümler açılardır.
   • Köşeleri $A$, $B$ ve $C$ olan bir üçgende $m(\widehat{A}) = 90^\circ$ ise hipotenüs $[BC]$ kenarı, dik kenarlar ise $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarıdır.

   Pisagor Bağıntısı

   Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.

   Dik kenar uzunlukları $b$ ve $c$, hipotenüs uzunluğu $a$ olan bir dik üçgende teorem şu şekilde ifade edilir:

   $$a^2 = b^2 + c^2$$

   Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler:

   • $3 - 4 - 5$ Üçgeni: Kenarları $3k, 4k, 5k$ olan dik üçgenlerdir ($k \in \mathbb{R}^+$).
   • $5 - 12 - 13$ Üçgeni: Kenarları $5k, 12k, 13k$ bağıntısını sağlar.
   • $8 - 15 - 17$ Üçgeni: Kenarları $8k, 15k, 17k$ şeklindedir.
   • $7 - 24 - 25$ Üçgeni: Kenarları $7k, 24k, 25k$ biçiminde doğrulanır.

   Öklid Bağıntıları

   Bir dik üçgende dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse indirilen dikme (yükseklik), üçgeni benzer iki küçük dik üçgene ayırır. Bu durumda kenar ve yükseklik arasında Öklid bağıntıları geçerlidir.

   $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve hipotenüse ait yükseklik $[AH]$ olsun. $|AH| = h$, $|BH| = p$, $|HC| = k$, $|BC| = a$, $|AB| = c$, $|AC| = b$ olmak üzere:

   • Yükseklik Bağıntısı: $$h^2 = p \cdot k$$
   • Dik Kenar Bağıntıları: $$c^2 = p \cdot a$$ $$b^2 = k \cdot a$$
   • Alan Bağıntısı: $$b \cdot c = a \cdot h$$
   • Ters Kareler Bağıntısı: $$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$$

   Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler

   Geometride sıklıkla karşılaşılan ve trigonometrik oranların doğrudan kullanıldığı özel dik üçgenler şunlardır:

   $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$ Üçgeni

   • $30^\circ$'lik açının karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün yarısına eşittir: $x$
   • $60^\circ$'lik açının karşısındaki kenar uzunluğu, $30^\circ$'nin karşısındaki kenarın $\sqrt{3}$ katıdır: $x\sqrt{3}$
   • Hipotenüs: $2x$

   $45^\circ - 45^\circ - 90^\circ$ İkizkenar Dik Üçgeni

   • Dik kenar uzunlukları birbirine eşittir: $x$
   • Hipotenüs uzunluğu dik kenarların $\sqrt{2}$ katına eşittir: $x\sqrt{2}$

   Muhteşem Üçlü Kuralı

   Bir dik üçgende dik açıya sahip köşeden hipotenüse çizilen kenarortayın uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.