Açıortay Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Açıortay Tanımı

   Bir açıyı iki eş ölçülü açıya ayıran ışına açıortay denir. Düzlem geometrisinde açıortay, açının kollarına eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri olarak da tanımlanır.

   Temel Teorem: Kollara İndirilen Dikmeler

   Bir açının açıortayı üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir. Ayrıca bu dikmelerin kenarları kestiği noktaların açının tepe noktasına olan uzaklıkları da eşittir.

   • Açının tepe noktası O, açıortay doğrusu üzerindeki nokta P olsun.
   • P noktasından açının kollarına indirilen dikmeler [PA] ve [PB] ise: |PA| = |PB| ve |OA| = |OB| olur.

   Üçgende İç Açıortay Teoremi

   Bir ABC üçgeninde A açısına ait iç açıortay doğrusu [BC] kenarını D noktasında kesiyorsa, açıortayın ayırdığı parçaların oranı, üçgenin bu parçalara komşu olan kenarlarının oranına eşittir.

   Matematiksel olarak kenar uzunlukları c = |AB|, b = |AC|, m = |BD| ve n = |DC| olmak üzere:

   $\frac{c}{b} = \frac{m}{n}$ veya $\frac{c}{m} = \frac{b}{n}$

   İç Açıortay Uzunluğu Bağıntısı

   A açısına ait iç açıortay uzunluğu $n_A = |AD|$ olmak üzere, iç açıortayın uzunluğunun karesi yan kenarların çarpımı ile tabanda ayırdığı parçaların çarpımının farkına eşittir:

   $n_A^2 = b \cdot c - m \cdot n$

   Dış Açıortay Bağıntısı

   Bir ABC üçgeninde bir köşeye ait dış açıyı iki eşit parçaya bölen ışına dış açıortay denir. A köşesine ait dış açıortayın BC doğrusunu kestiği nokta E olsun (C noktası B ile E arasında olmak üzere).

   Dış açıortay teoremi gereğince kenar uzunlukları ile ayırdığı parçalar arasında şu oran bulunur:

   $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|EB|}{|EC|}$

   Dış Açıortay Uzunluğu Bağıntısı

   A köşesine ait dış açıortay uzunluğu $n'_A = |AE|$ olmak üzere, bu uzunluğun karesi tabanda oluşan parçaların çarpımı ile yan kenarların çarpımının farkına eşittir:

   $(n'_A)^2 = |EB| \cdot |EC| - |AB| \cdot |AC|$

   İç Teğet Çemberin Merkezi

   Bir üçgenin üç iç açıortayı tek bir noktada kesişir. Bu kesim noktasına üçgenin iç teğet çemberinin merkezi denir ve genellikle I harfi ile gösterilir.

   • I noktasının üçgenin kenarlarına olan dik uzaklıkları birbirine eşittir ve bu uzaklık iç teğet çemberin yarıçapı (r) kadardır.
   • I noktası üçgenin iç bölgesinde daima yer alır.
   • İç teğet çemberin yarıçapı r ve üçgenin çevresi 2u olmak üzere, üçgenin alanı $Alan(ABC) = u \cdot r$ formülüyle hesaplanır.

   Dış Teğet Çemberlerin Merkezleri

   Bir üçgende iki dış açıortay ile üçüncü köşeye ait iç açıortay aynı noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin dış teğet çemberinin merkezi adı verilir. Her üçgende üç farklı dış teğet çemberi bulunur.