Çokgenler Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Çokgenin Tanımı

   Aynı düzlemde bulunan, herhangi üçü doğrusal olmayan en az üç noktanın ikişer ikişer bir doğru parçası ile birleştirilmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.

   Çokgenlerin temel elemanları şunlardır:

   • Köşe: Doğru parçalarının kesiştiği noktalardır.
   • Kenar: Çokgeni oluşturan ardışık iki köşeyi birleştiren doğru parçalarıdır. Kenar sayısı $n$ ile gösterilir ve en küçük çokgen için $n = 3$ olmalıdır.
   • İç Açı: Çokgenin ardışık iki kenarının çokgen içinde oluşturduğu açıdır.
   • Dış Açı: Bir iç açının komşu bütünleri olan açıdır. Her köşede bir iç açı ile komşu dış açının toplamı $180^\circ$ değerine eşittir.
   • Köşegen: Çokgenin ardışık olmayan herhangi iki köşesini birleştiren doğru parçasıdır.

   Genel Çokgen Bağıntıları

   $n$ kenarlı dışbükey (konveks) bir çokgende geçerli olan temel bağıntılar aşağıda verilmiştir:

   • Bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı: $n - 3$
   • Bir köşeden çizilen köşegenlerin çokgeni ayırdığı üçgen sayısı: $n - 2$
   • İç açılar toplamı: $(n - 2) \cdot 180^\circ$
   • Dış açılar toplamı: Kenar sayısından bağımsız olarak daima $360^\circ$ dir.
   • Toplam köşegen sayısı: $\frac{n(n - 3)}{2}$

   Bu bağıntılar, tüm konveks çokgenlerde açı ve eleman hesaplamalarının temelini oluşturur.

   Düzgün Çokgenlerin Tanımı ve Özellikleri

   Tüm kenar uzunlukları ve tüm iç açı ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir. Örneğin; eşkenar üçgen ve kare birer düzgün çokgendir.

   $n$ kenarlı bir düzgün çokgende açı ölçüleri şu şekilde hesaplanır:

   • Bir dış açının ölçüsü: Dış açılar toplamı sabit olduğu için $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$ bağıntısıyla bulunur.
   • Bir iç açının ölçüsü: Bir iç açı ile dış açı bütünler olduğundan $180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$ veya $\frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ bağıntısıyla hesaplanır.

   Düzgün çokgenlerde kenar sayısı arttıkça dış açı küçülür, iç açı ise büyür.

   Düzgün Beşgen ve Düzgün Altıgen

   Geometride en sık karşılaşılan düzgün çokgen modelleri düzgün beşgen ve düzgün altıgendir:

   Düzgün Beşgen ($n = 5$)

   • Bir dış açısı: $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$
   • Bir iç açısı: $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$
   • Bütün köşegen uzunlukları birbirine eşittir. Bir köşeden karşı kenara indirilen dikme, karşı kenarı ve tepe açısını iki eşit parçaya böler; bu doğru aynı zamanda bir simetri eksenidir.

   Düzgün Altıgen ($n = 6$)

   • Bir dış açısı: $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$
   • Bir iç açısı: $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$
   • Karşılıklı kenarları paraleldir. Bir kenarı $a$ birim olan düzgün altıgenin en uzun köşegeni $2a$ birimdir ve bu köşegenler şekli 6 eşkenar üçgene ayırır.
   • Toplam alanı: $6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ formülü ile bulunur.