Veri ve İstatistik Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Merkezi Eğilim Ölçüleri

   Veri setlerinin merkezi veya tipik değerini özetlemek amacıyla merkezi eğilim ölçüleri kullanılır. Bu ölçülerin başında aritmetik ortalama, medyan (ortanca) ve mod (tepe değer) gelir.

   Aritmetik Ortalama

   Sonlu bir veri kümesinde yer alan gözlemlerin toplamının gözlem sayısına bölünmesiyle elde edilir. Evren büyüklüğü $N$ olan bir kümede evren ortalaması $\mu$ ile, örneklem büyüklüğü $n$ olan bir kümede örneklem ortalaması ar{x} ile gösterilir:

   ar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

   Beklenen Değer (Kesikli Durum)

   Olasılık teorisinde bir rastgele değişkenin merkezi eğilimi beklenen değer ile ifade edilir. Olasılık kütle fonksiyonu $P(X = x_i) = p_i$ olan kesikli bir $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri şu şekilde tanımlanır:

   $$E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)$$

   Beklenen değer lineer bir operatördür; sabit $a$ ve $b$ değerleri için şu eşitlik geçerlidir:

   • Lineerlik Özelliği: $E[aX + b] = aE[X] + b$
   • Toplamın Beklenen Değeri: $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$

   Dağılım (Yayılım) Ölçüleri

   İki farklı veri seti aynı ortalamaya sahip olsa bile, verilerin ortalama etrafındaki saçılımı birbirinden oldukça farklı olabilir. Verilerin ne kadar yayıldığını ölçmek için varyans ve standart sapma kullanılır.

   Varyansın Tanımı ve Hesaplanması

   Varyans, gözlem değerlerinin ortalamadan sapmalarının karelerinin ortalamasıdır. Evren varyansı $\sigma^2$ formülüyle gösterilir:

   $$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2$$

   Rastgele değişkenler için varyans tanımı, beklenen değer cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir:

   $$\operatorname{Var}(X) = E\left[(X - E[X])^2\right] = E[X^2] - (E[X])^2$$

   Standart Sapma

   Varyans karesel birimlerle ifade edildiğinden, verinin orijinal birimine dönmek amacıyla varyansın pozitif karekökü alınır. Bu değere standart sapma adı verilir:

   $$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}$$

   Varyansın Temel Özellikleri

   • Varyans her zaman negatif olmayan bir değerdir: $\operatorname{Var}(X) \ge 0$.
   • Sabit bir değerin varyansı sıfırdır: $\operatorname{Var}(c) = 0$.
   • Sabit ile çarpım durumunda katsayının karesi dışarı çıkar: $\operatorname{Var}(aX + b) = a^2 \operatorname{Var}(X)$.

   Örneklem Varyansı ve Yansız Tahmin

   Bir evrenin parametrelerini doğrudan ölçmek çoğu zaman imkânsızdır; bu nedenle evrenden rastgele çekilen $n$ elemanlı bir örneklem üzerinden parametre tahmini yapılır.

   Bessel Düzeltmesinin Gerekliliği

   Örneklem varyansı hesaplanırken doğrudan $n$ sayısına bölündüğünde, elde edilen tahmin edici evren varyansını sistematik olarak olduğundan küçük tahmin eder (yanlı tahmin). Bu sapmayı gidermek için serbestlik derecesi $n-1$ olarak alınır:

   s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - ar{x})^2

   Buradaki $n-1$ paydası Bessel düzeltmesi olarak adlandırılır ve $s^2$ değerini evren varyansı $\sigma^2$ için yansız bir tahmin edici (unbiased estimator) yapar:

   $$E[s^2] = \sigma^2$$

   Örneklem ve Evren Notasyon Karşılaştırması

   • Evren Büyüklüğü: $N$, Örneklem Büyüklüğü: $n$
   • Evren Ortalaması: $\mu$, Örneklem Ortalaması: ar{x}
   • Evren Varyansı: $\sigma^2$, Örneklem Varyansı: $s^2$
   • Evren Standart Sapması: $\sigma$, Örneklem Standart Sapması: $s$

   Verilerin Standartlaştırılması ve Dağılım Aralıkları

   Farklı dağılımlardan gelen gözlemlerin karşılaştırılabilmesi veya bir değerin ortalamaya göre bağıl konumunun belirlenebilmesi için standartlaştırma dönüşümleri uygulanır.

   Standart Değer (Z-Skoru)

   Bir gözlem değerinin ortalamadan kaç standart sapma uzaklıkta olduğunu gösteren boyutsuz büyüklüğe z-skoru denir:

   $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

   Z dönüşümü uygulanmış bir veri setinin ortalaması daima $0$, standart sapması ve varyansı ise $1$'e eşittir: $E[Z] = 0$ ve $\operatorname{Var}(Z) = 1$.

   Chebyshev Eşitsizliği

   Dağılımın biçimi (simetrik, çarpık vs.) bilinmese dahi, sonlu bir varyansa sahip herhangi bir rastgele değişken için gözlemlerin ortalama etrafındaki yoğunluğu Chebyshev eşitsizliği ile sınırlandırılabilir.

   Herhangi bir $k > 1$ gerçel sayısı için, verilerin en az $1 - \frac{1}{k^2}$ kadarı ortalamadan en fazla $k$ standart sapma uzaklıktaki aralıkta yer alır:

   $$P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$$

   • $k = 2$ için: Verilerin en az $1 - \frac{1}{4} = \%75$'i $(\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma)$ aralığındadır.
   • $k = 3$ için: Verilerin en az $1 - \frac{1}{9} \approx \%88{,}9$'u $(\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)$ aralığındadır.