Bölme ve Bölünebilme Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Bölme Bağıntısı

   $A, B, B \neq 0, Q$ ve $K$ birer tam sayı olmak üzere bölme işlemi genel olarak ifade edilir:

   $$A = B \cdot Q + K$$

   Burada $A$ bölünen, $B$ bölen, $Q$ bölüm ve $K$ kalandır. Bölme işleminin geçerli olabilmesi için temel koşullar şunlardır:

   • Kalan negatif olamaz: $K \ge 0$
   • Kalan her zaman bölenden kesinlikle küçük olmalıdır: $K < B$
   • Özel durum: $K = 0$ ise $A$ sayısı $B$ sayısına kalansız (tam) bölünür ve $B \mid A$ şeklinde gösterilir.
   • Eğer $K < Q$ koşulu da sağlanıyorsa, bölen ($B$) ile bölümün ($Q$) yer değiştirmesi kalanı ($K$) değiştirmez.

   Basamak Değerine Dayalı Kurallar

   Bir tam sayının belirli sayılara kalansız bölünüp bölünmediğini belirlemek için basamak çözümlemesinden türetilen kurallar kullanılır:

   • 2 ile Bölünebilme: Birler basamağındaki rakam çift ($0, 2, 4, 6, 8$) olan sayılar 2 ile tam bölünür.
   • 3 ile Bölünebilme: Rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. Kalan, rakamlar toplamının 3'e bölümünden elde edilen kalandır.
   • 4 ile Bölünebilme: Son iki basamağının oluşturduğu iki basamaklı sayı $00$ veya 4'ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.
   • 5 ile Bölünebilme: Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
   • 8 ile Bölünebilme: Son üç basamağının oluşturduğu sayı $000$ veya 8'in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.
   • 9 ile Bölünebilme: Rakamları toplamı 9 veya 9'un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
   • 10 ile Bölünebilme: Birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür.
   • 11 ile Bölünebilme: Sayının basamakları sağdan sola doğru $+, -, +, -, \dots$ işaretleriyle işaretlenip toplandığında çıkan sonuç 11'in katı (veya 0) olmalıdır.

   Bileşik Sayılara Bölünebilme İlkesi

   $m$ ve $n$ aralarında asal iki pozitif tam sayı olmak üzere, bir sayı hem $m$ hem de $n$ ile tam bölünüyorsa, bu sayı $m \cdot n$ çarpımına da tam bölünür.

   • 6 ile Bölünebilme: Sayı hem 2 hem de 3 ile tam bölünmelidir.
   • 12 ile Bölünebilme: Sayı hem 3 hem de 4 ile tam bölünmelidir ($2 \cdot 6$ seçilmez çünkü 2 ve 6 aralarında asal değildir).
   • 15 ile Bölünebilme: Sayı hem 3 hem de 5 ile tam bölünmelidir.
   • 36 ile Bölünebilme: Sayı hem 4 hem de 9 ile tam bölünmelidir.
   • 45 ile Bölünebilme: Sayı hem 5 hem de 9 ile tam bölünmelidir.

   Önemli İpucu: Bu tür kurallarda öncelikle son basamağı bağlayan (2, 4, 5 gibi) kurallar incelenerek bilinmeyen basamaklar sınırlandırılır, ardından tüm basamakları ilgilendiren (3, 9, 11 gibi) kurallar uygulanır.

   Kalanlar Üzerinde İşlemler

   Bir $A$ sayısının $m$ ile bölümünden kalan $k_1$, $B$ sayısının $m$ ile bölümünden kalan $k_2$ olsun:

   • $A + B$ toplamının $m$ ile bölümünden kalan, $k_1 + k_2$ toplamının $m$ ile bölümünden kalana eşittir.
   • $A \cdot B$ çarpımının $m$ ile bölümünden kalan, $k_1 \cdot k_2$ çarpımının $m$ ile bölümünden kalana eşittir.
   • $n \in \mathbb{Z}^+$ olmak üzere $A^n$ ifadesinin $m$ ile bölümünden kalan, $k_1^n$ ifadesinin $m$ ile bölümünden kalana eşittir.

   Bileşik Kalan Problemleri: Bir sayının aralarında asal çarpanlara bölümünden kalanlar biliniyorsa, örneğin bir $x$ sayısının 36 ile bölümünden kalan $K$ ise, $x$'in 4 ve 9 ile bölümünden kalanlar sırasıyla $K$'nın 4 ve 9 ile bölümünden kalanlarına eşittir.