Temel Kavramlar Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Giriş ve Tanım

   Vektör değerli fonksiyonlar, gerçel sayıları vektörlere eşleyen fonksiyonlardır. Genellikle bir parametreye (çoğunlukla zamanı temsil eden t) bağlı olarak uzaydaki bir noktanın veya hareketlinin konumunu modellemek için kullanılırlar.

   Bir r(t) vektör değerli fonksiyonu, üç boyutlu uzayda bileşen fonksiyonları cinsinden şu şekilde ifade edilir:

   $\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$

   Burada f, g ve h fonksiyonlarına r vektör fonksiyonunun bileşen fonksiyonları adı verilir.

   Tanım Kümesinin Belirlenmesi

   Bir vektör değerli fonksiyonun tanım kümesi, bileşen fonksiyonlarının her birinin aynı anda tanımlı olduğu en geniş gerçel sayılar kümesidir. Başka bir deyişle, bileşen fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişimidir.

   Örneğin; $\mathbf{r}(t) = \langle \sqrt{4 - t^2}, \ln(t + 1), \frac{1}{t} \rangle$ fonksiyonunu ele alalım:

   • $f(t) = \sqrt{4 - t^2}$ için: $4 - t^2 \ge 0 \implies -2 \le t \le 2$
   • $g(t) = \ln(t + 1)$ için: $t + 1 > 0 \implies t > -1$
   • $h(t) = \frac{1}{t}$ için: $t \ne 0$

   Bu üç koşulun kesişimi alındığında, r(t) fonksiyonunun tanım kümesi (-1, 0) U (0, 2] aralığı olarak bulunur.

   Limit Hesabı

   Bir vektör değerli fonksiyonun limiti, her bir bileşen fonksiyonunun ayrı ayrı limitlerinin alınmasıyla hesaplanır:

   $\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \left\langle \lim_{t \to a} f(t), \lim_{t \to a} g(t), \lim_{t \to a} h(t) \right\rangle$

   Bu limitin var olabilmesi için tüm bileşen limitlerinin bağımsız olarak mevcut olması ve sonlu bir gerçel sayıya eşit olması gerekir.

   Süreklilik

   Bir r vektör değerli fonksiyonu, t = a noktasında ancak ve ancak şu koşul sağlandığında süreklidir:

   $\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a)$

   Dolayısıyla r, a noktasında bileşen fonksiyonları f, g ve h sürekli olduğunda süreklidir.

   Eğrilerin Parametrik Temsili

   t parametresi bir I aralığında değişirken, $\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle$ konum vektörünün uç noktalarının uzayda taradığı noktalar kümesi bir uzay eğrisi oluşturur.

   Eğrinin parametrik denklemleri şunlardır:

   $x = f(t), \quad y = g(t), \quad z = h(t)$

   Örnek (Dairesel Helis):

   $\mathbf{r}(t) = \langle \cos(t), \sin(t), t \rangle$ fonksiyonu dairesel bir helis tanımlar. x ve y koordinatları $x^2 + y^2 = 1$ silindiri üzerinde dairesel hareket yaparken, z = t bileşeni eğrinin yukarı doğru sabit hızla yükselmesini sağlar.