Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Rasyonel Sayılar Kümesi ($\mathbb{Q}$)

   Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı biçiminde ifade edilebilen sayıların oluşturduğu kümedir. Matematiksel olarak rasyonel sayılar kümesi şu şekilde tanımlanır:

   $$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \;\middle|\; a, b \in \mathbb{Z} \text{ ve } b \neq 0 \right\}$$

   Burada a pay, b ise payda olarak adlandırılır. Paydanın sıfır olması durumunda ifade tanımsızdır; çünkü sıfıra bölme işlemi tanımlı değildir. Payın sıfır, paydanın ise sıfırdan farklı olduğu durumlarda ifade sıfıra eşittir:

   • $b \neq 0$ iken $\frac{0}{b} = 0$
   • $a \neq 0$ iken $\frac{a}{0}$ tanımsızdır.
   • $\frac{0}{0}$ durumu ise belirsizlik ifade eder.

   Denklik ve Sadeleştirme

   İki rasyonel sayının eşitliği içler-dışlar çarpımı ile doğrulanır: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$. Bir rasyonel sayının pay ve paydası sıfırdan farklı bir $k$ tam sayısı ile çarpılırsa genişletilmiş, bölünürse sadeleştirilmiş olur. Pay ile paydanın en büyük ortak böleni 1 olduğunda kesir en sade halindedir (indirgenemez kesir).

   Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

   Rasyonel sayılar kümesi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir cisim (field) yapısı oluşturur. İşlemler aşağıdaki kurallarla yürütülür:

   1. Toplama ve Çıkarma

   Paydaları eşit olan kesirlerde işlem doğrudan paylar arasında yapılır. Paydaları farklı olan kesirlerde ise en küçük ortak kat (EKOK) yardımıyla paydalar eşitlenir:

   $$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm b \cdot c}{b \cdot d}$$

   2. Çarpma ve Bölme

   Çarpma işleminde paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır:

   $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

   Sıfırdan farklı bir $\frac{c}{d}$ rasyonel sayısına bölme işlemi, birinci sayının ikincinin çarpmaya göre tersiyle çarpılması anlamına gelir:

   $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \quad (c \neq 0)$$

   Ondalık ve Devirli Gösterimler

   Her rasyonel sayı bir ondalık açılıma sahiptir. Bir rasyonel sayının en sade halinde paydası yalnızca 2 ve 5 asal çarpanlarından oluşuyorsa, bu sayı sonlu ondalık açılıma sahiptir. Paydada 2 ve 5 dışında asal çarpan bulunuyorsa, bu açılım devirli ondalık açılım üretir.

   Devirli Sayıların Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi

   Periyodik olarak tekrarlayan ondalık sayıların kesre dönüştürülmesinde genel formül uygulanır:

   $$\text{Kesir} = \frac{\text{Sayının Tamamı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Devreden Basamak Sayısı Kadar 9, Devretmeyen Basamak Sayısı Kadar 0}}$$

   Örneğin; $0,\bar{3} = \frac{3 - 0}{9} = \frac{1}{3}$ ve $1,2\bar{4} = \frac{124 - 12}{90} = \frac{112}{90} = \frac{56}{45}$ olarak hesaplanır.

   Rasyonel Sayıların Sıralanması ve Yoğunluk (Density)

   Rasyonel sayılar doğrusal olarak sıralanabilir bir kümedir. Sıralamada üç temel yöntem kullanılır:

   • Payda Eşitleme: Pozitif kesirlerde paydalar eşitlendiğinde payı büyük olan sayı daha büyüktür.
   • Pay Eşitleme: Pozitif kesirlerde paylar eşitlendiğinde paydası küçük olan sayı daha büyüktür.
   • Ondalık Karşılaştırma: Sayıların ondalık basamak değerleri soldan sağa kıyaslanır.

   Yoğunluk Teoremi

   Rasyonel sayılar kümesi reel sayı doğrusu üzerinde yoğundur. Herhangi iki farklı rasyonel sayı $x$ ve $y$ (burada $x < y$) arasında her zaman en az bir rasyonel sayı bulunur. Bu sayılardan biri iki sayının aritmetik ortalamasıdır:

   $$z = \frac{x + y}{2} \implies x < z < y$$

   Bu kural ardışık olarak uygulanabildiğinden, herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı mevcuttur. Ancak bu yoğunluğa rağmen rasyonel sayılar kümesi sayı doğrusunu tamamen doldurmaz; arada $\sqrt{2}$, $\pi$ gibi irrasyonel sayılar bulunur.