Polinomlar Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Polinom Fonksiyonu Nedir?

   Bir reel değişkenli bir polinom, katsayıları reel sayılar ve değişkenin üsleri doğal sayılar olan cebirsel bir ifadedir. Genel biçimiyle $n \in \mathbb{N}$ olmak üzere,

   $$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$

   şeklinde tanımlanır. Burada $a_n \neq 0$ koşulu sağlandığında $n$ sayısına polinomun derecesi denir ve $\text{der}[P(x)] = n$ biçiminde gösterilir. En yüksek dereceli terimin katsayısı olan $a_n$ başkatsayı, değişkenden bağımsız olan $a_0$ ise sabit terim olarak adlandırılır.

   Temel Değerler ve Hesaplamalar

   Bir polinomun katsayıları ve sabit terimi değişken yerine uygun değerler yazılarak doğrudan elde edilir:

   • Katsayılar Toplamı: Değişken yerine $1$ yazılarak bulunur. $P(x)$ için katsayılar toplamı $P(1)$ değeridir. Benzer biçimde $P(2x+3)$ polinomunun katsayılar toplamı için $x = 1$ yazılır ve $P(5)$ hesaplanır.
   • Sabit Terim: Değişken yerine $0$ yazılarak bulunur. $P(x)$ için sabit terim $P(0)$ değeridir. $P(3x-2)$ polinomunun sabit terimi için $x = 0$ yazılır ve $P(-2)$ elde edilir.
   • Çift ve Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları: Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı $\frac{P(1) + P(-1)}{2}$, tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı ise $\frac{P(1) - P(-1)}{2}$ formülüyle belirlenir.

   Bölme Algoritması

   $P(x)$ ve $Q(x)$ iki polinom ve $Q(x) \neq 0$ olmak üzere, her zaman tek olarak belirlenen bir $B(x)$ (bölüm) ve $K(x)$ (kalan) polinomu vardır. Bu bağıntı temel bölme özdeşliğidir:

   $$P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x)$$

   Bu özdeşlikte kalan polinomu için iki kritik kural geçerlidir:

   • Kalan sıfır polinomu değilse, $\text{der}[K(x)] < \text{der}[Q(x)]$ olmalıdır.
   • $K(x) = 0$ olduğunda, $P(x)$ polinomu $Q(x)$ polinomuna tam bölünür; yani $Q(x)$, $P(x)$'in bir çarpanıdır.

   Derece Kuralları

   $\text{der}[P(x)] = m$ ve $\text{der}[Q(x)] = n$ ($m \ge n$) olsun:

   • $\text{der}[P(x) \pm Q(x)] \le \max(m, n)$ (En yüksek dereceli terimler birbirini sadeleştirmediği sürece eşitlik geçerlidir.)
   • $\text{der}[P(x) \cdot Q(x)] = m + n$
   • $\text{der}\left[\frac{P(x)}{Q(x)}\right] = m - n$
   • $\text{der}[P(Q(x))] = m \cdot n$
   • $k \in \mathbb{N}^+$ için $\text{der}[(P(x))^k] = k \cdot m$ ve $\text{der}[P(x^k)] = k \cdot m$

   Bézout Teoremi (Kalan Teoremi)

   Bir $P(x)$ polinomunun $x - a$ birinci dereceden terimi ile bölümünden elde edilen kalan, bölen sıfıra eşitlenerek elde edilen $x = a$ değerinin polinomda yerine yazılmasıyla bulunur:

   $$P(x) = (x - a) \cdot B(x) + K \implies P(a) = K$$

   Kalanı bulmak için klasik bölme işlemi yapılmasına gerek yoktur. Benzer biçimde:

   • $P(x)$'in $ax + b$ ile bölümünden kalan $P\left(-\frac{b}{a}\right)$'dır.
   • $P(mx+n)$ polinomunun $x - k$ ile bölümünden kalan bulunurken $x = k$ yazılır ve $P(mk+n)$ elde edilir.

   Yüksek Dereceli Bölenlerle Kalan Bulma

   Bölen ikinci veya daha yüksek dereceden olduğunda, bölen polinom sıfıra eşitlenerek en yüksek dereceli terim yalnız bırakılır ve bu indirgeme bağıntısı $P(x)$ polinomunda yerine yazılır.

   Örneğin, $P(x)$'in $x^2 + ax + b$ ile bölümünden kalanı ararken $x^2 = -ax - b$ özdeşliği kullanılır ve tüm $x^2$ ve üzeri terimler birinci dereceden bir ifadeye indirgenir. Kalan en fazla birinci dereceden olup $K(x) = mx + n$ biçimindedir.

   Verilen Kök Bilgileriyle Polinom Oluşturma

   Baş katsayısı $a$ olan ve kökleri bilinen $n$. dereceden bir polinom çarpanlarına ayrılarak yazılabilir:

   $$P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\dots(x - x_n)$$

   Kökler yerine kalan bilgisi verilmişse polinom modellemesi şu şekilde kurulur: Üçüncü dereceden bir $P(x)$ polinomu $x-1$, $x-2$ ve $x-3$ ile bölündüğünde her seferinde aynı $k$ kalanını veriyorsa,

   $$P(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 3) + k$$

   biçiminde ifade edilir. Bu yaklaşım, bilinmeyen sayısını en aza indirerek işlem kolaylığı sağlar.

   Kök-Katsayı Bağıntıları (Viète Teoremi)

   $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ denkleminin kökleri $x_1, x_2, x_3$ olmak üzere:

   • Kökler Toplamı: $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$
   • Köklerin İkişerli Çarpımlarının Toplamı: $x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}$
   • Kökler Çarpımı: $x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a}$

   Eğer $P(x)$ rasyonel katsayılı bir polinomsa ve $m + \sqrt{n}$ bir kök ise ($m, n \in \mathbb{Q}$, $\sqrt{n} otin \mathbb{Q}$), o zaman eşleniği olan $m - \sqrt{n}$ de bu polinomun bir kökü olmak zorundadır. Benzer durum karmaşık kökler için de geçerlidir: Reel katsayılı polinomlarda $a + bi$ bir kökse, $a - bi$ de köktür.