Olasılık Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. 1. Temel Kavramlar ve Kolmogorov Aksiyomları

   Rastgele bir deneyin olanaklı tüm sonuçlarının kümesine örnek uzay denir ve genellikle $S$ veya $\Omega$ ile gösterilir. Örnek uzayın her bir alt kümesine ise bir olay adı verilir.

   Modern olasılık kuramı, Andrey Kolmogorov tarafından ortaya konan üç temel aksiyom üzerine inşa edilmiştir:

   • Aksiyom 1 (Negatif Olmama): Her $A$ olayı için $P(A) \ge 0$ dir.
   • Aksiyom 2 (Kesin Olay): Örnek uzayın gerçekleşme olasılığı $P(S) = 1$ dir.
   • Aksiyom 3 (Sayılabilir Toplanabilirlik): İkişer ikişer ayrık olan (yani her $i \ne j$ için $A_i \cap A_j = \emptyset$) sayılabilir sayıdaki $A_1, A_2, \dots$ olayları için:
     $$P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$$

   Bu aksiyomlardan türetilen temel özellikler şunlardır:

   • İmkânsız olayın olasılığı sıfırdır: $P(\emptyset) = 0$.
   • Tümleyen kuralı: $P(A') = 1 - P(A)$.
   • Herhangi iki olay için toplam kuralı: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

   2. Koşullu Olasılık ve Çarpım Kuralı

   Bir $B$ olayının gerçekleştiği bilindiğinde, bir $A$ olayının gerçekleşme olasılığına koşullu olasılık denir ve $P(A|B)$ biçiminde gösterilir.

   $P(B) > 0$ olmak üzere koşullu olasılık formülü şöyledir:

   $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

   Bu ifadeden genel çarpım kuralı elde edilir:

   $$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$$

   Olayların İstatistiksel Bağımsızlığı

   Bir olayın gerçekleşmesi, diğer bir olayın gerçekleşme olasılığını etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.

   Matematiksel olarak, $A$ ve $B$ olaylarının bağımsız olması için gerek ve yeter koşul şudur:

   $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

   Eğer $A$ ve $B$ bağımsızsa ve $P(B) > 0$ ise, doğrudan $P(A|B) = P(A)$ eşitliği sağlanır.

   3. Toplam Olasılık Kuralı ve Bayes Teoremi

   Bir $S$ örnek uzayının, birbirini dışarlayan ve birleşimleri $S$'yi veren alt kümelerine bir bölüntü (partition) denir. $B_1, B_2, \dots, B_k$ olayları ikişer ikişer ayrık olsun ve $\bigcup_{i=1}^k B_i = S$ şartını sağlasın.

   Toplam Olasılık Kuralı

   Herhangi bir $A$ olayı için toplam olasılık formülü şu şekildedir:

   $$P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$$

   Bayes Teoremi

   Bayes Teoremi, bir sonucun (kanıtın) gözlemlenmesi durumunda, o sonuca yol açabilecek olası nedenlerin güncellenmiş (sonsal / a posteriori) olasılıklarını hesaplamaya yarar:

   $$P(B_j|A) = \frac{P(B_j) \cdot P(A|B_j)}{\sum_{i=1}^{k} P(B_i) \cdot P(A|B_i)}$$

   Burada:

   • $P(B_j)$: Önsel (a priori) olasılık,
   • $P(A|B_j)$: Olabilirlik (likelihood),
   • $P(B_j|A)$: Sonsal (a posteriori) olasılıktır.