Kümeler - Kartezyen Çarpım Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Sıralı İkili Tanımı

   Elemanların yazılış sırasının önem taşıdığı ve iki bileşenden oluşan matematiksel ifadelere sıralı ikili denir. Bir sıralı ikili genel olarak $(x, y)$ biçiminde gösterilir. Burada $x$ ifadesine birinci bileşen, $y$ ifadesine ise ikinci bileşen adı verilir.

   Kümelerden farklı olarak sıralı ikililerde sıra değiştiğinde ifade edilen anlam değişir. Yani $a \neq b$ olmak üzere $(a, b) \neq (b, a)$ olur.

   Sıralı İkililerin Eşitliği

   İki sıralı ikilinin birbirine eşit olabilmesi için karşılıklı bileşenlerinin eşit olması zorunludur:

   $$(a, b) = (c, d) \iff a = c \text{ ve } b = d$$

   Örnek olarak, $(2x + 1, 7) = (9, 3y - 2)$ eşitliğinde birinci bileşenler kendi arasında, ikinci bileşenler de kendi arasında eşitlenerek çözüme gidilir:

   • $2x + 1 = 9 \implies 2x = 8 \implies x = 4$
   • $3y - 2 = 7 \implies 3y = 9 \implies y = 3$

   Kartezyen Çarpım Tanımı

   Boş olmayan iki küme $A$ ve $B$ olsun. Birinci bileşeni $A$ kümesinden, ikinci bileşeni $B$ kümesinden alınarak oluşturulabilecek tüm $(a, b)$ sıralı ikililerinin kümesine $A$ ile $B$'nin kartezyen çarpımı denir ve bu küme $A \times B$ ile gösterilir.

   Ortak özellik yöntemiyle kartezyen çarpım şu şekilde tanımlanır:

   $$A \times B = \{(a, b) : a \in A \text{ ve } b \in B\}$$

   Kümelerden en az biri boş küme ise elde edilen kartezyen çarpım da boş küme olur:

   $$A \times \emptyset = \emptyset \times A = \emptyset$$

   Örnek Gösterim

   $A = \{1, 2\}$ ve $B = \{x, y, z\}$ kümeleri verilsin:

   • $A \times B = \{(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)\}$
   • $B \times A = \{(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)\}$

   Bu örnekten görüleceği üzere $A \neq B$ olduğu sürece $A \times B \neq B \times A$'dır. Dolayısıyla kartezyen çarpım işleminin değişme özelliği yoktur.

   Eleman Sayısı ve Cebirsel Özellikler

   Sonlu $A$ ve $B$ kümeleri için $A \times B$ kümesinin eleman sayısı, kümelerin ayrı ayrı eleman sayılarının çarpımına eşittir:

   $$s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)$$

   Sayıların çarpımı değişme özelliğine sahip olduğundan eleman sayıları için daima $s(A \times B) = s(B \times A)$ eşitliği sağlanır.

   Cebirsel Teoremler

   Herhangi $A$, $B$ ve $C$ kümeleri için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

   • Birleşme Özelliği: $(A \times B) \times C = A \times (B \times C)$
   • Kesişim Üzerine Dağılma: $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$
   • Birleşim Üzerine Dağılma: $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$
   • Fark Üzerine Dağılma: $A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C)$

   Ayrıca alt küme bağıntıları kartezyen çarpımda korunur: $A \subseteq B$ ve $C \subseteq D$ ise $A \times C \subseteq B \times D$ olur.

   Analitik Düzlemde Gösterim

   $A \times B$ kümesinin analitik düzlemdeki grafiği çizilirken, birinci bileşenler yatay eksende ($x$ ekseni), ikinci bileşenler ise düşey eksende ($y$ ekseni) işaretlenir. Bu elemanların kesiştikleri noktalar sıralı ikilileri verir.

   Farklı Küme Tiplerinin Grafiği

   1. İki Sonlu Kümenin Çarpımı: Elemanlar ayrık noktalardan oluşur. Örneğin $A = \{1, 2\}$ ve $B = \{3, 4\}$ ise analitik düzlemde sadece 4 adet ayrık nokta elde edilir.
   2. Bir Aralık ile Bir Sonlu Kümenin Çarpımı: $A = [1, 3]$ ve $B = \{2\}$ ise grafik, $y = 2$ doğrusu üzerinde $x \in [1, 3]$ olan kapalı bir doğru parçası belirtir.
   3. İki Aralığın Çarpımı: $A = [a, b]$ ve $B = [c, d]$ gerçel sayı aralıkları olmak üzere $A \times B$ kümesi, analitik düzlemde sınırları ve içi dahil olan bir dikdörtgensel bölge temsil eder.

   Bu bağlamda tüm reel sayıların kartezyen çarpımı olan $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$, bilinen iki boyutlu Kartezyen Koordinat Düzlemi'ni oluşturur.