II. Dereceden Denklemler Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Tanım

   $a, b, c \in \mathbb{R}$ ve $a \neq 0$ olmak üzere,

   $$ax^2 + bx + c = 0$$

   biçimindeki açık önermelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemi sağlayan $x$ gerçek sayılarına denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye ise çözüm kümesi adı verilir.

   Çarpanlara Ayırma Yöntemi

   Denklemin sol tarafı rasyonel katsayılı çarpanlarına ayrılabiliyorsa, her bir çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.

   • $x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x - 2)(x - 3) = 0$ olduğundan kökler $x_1 = 2$ ve $x_2 = 3$ olur.
   • $2x^2 - 8 = 0 \implies 2(x - 2)(x + 2) = 0$ denkleminin kökleri $x_1 = -2$ ve $x_2 = 2$'dir.

   Diskriminant Kavramı

   $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminde $\Delta = b^2 - 4ac$ ifadesine denklemin diskriminantı denir. Genel kök formülü şu şekildedir:

   $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

   Köklerin İncelenmesi

   1. $\Delta > 0$: Denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır: $x_1 \neq x_2$ ve $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$.
   2. $\Delta = 0$: Denklemin birbirine eşit (çakışık, çift katlı) iki gerçek kökü vardır: $$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$$ Bu durumda denklem bir tam kare ifadedir.
   3. $\Delta < 0$: Denklemin gerçek sayılar kümesinde kökü yoktur. Ancak karmaşık sayılar kümesinde birbirinin eşleniği olan iki kök bulunur.

   Kökler Toplamı ve Çarpımı

   $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ olsun. Denklemi doğrudan çözmeden kökler ve katsayılar arasındaki şu temel bağıntılar kullanılır:

   • Kökler Toplamı: $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
   • Kökler Çarpımı: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
   • Köklerin Farkının Mutlak Değeri: $$|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$$

   Sık Kullanılan Özdeşlikler

   Köklerle ilgili simetrik ifadeleri hesaplarken özdeşliklerden yararlanılır:

   • $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$
   • $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

   Denklem Kurma Bağıntısı

   Kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan ikinci dereceden denklem, köklerin toplamı $T = x_1 + x_2$ ve köklerin çarpımı $Ç = x_1 \cdot x_2$ olmak üzere şu biçimde kurulur:

   $$x^2 - Tx + Ç = 0$$

   Önemli Özellikler

   • Rasyonel katsayılı bir denklemin köklerinden biri $m + \sqrt{n}$ (burada $m, n \in \mathbb{Q}$ ve $\sqrt{n} \notin \mathbb{Q}$) ise diğer kök mutlaka onun eşleniği olan $m - \sqrt{n}$ sayısıdır.
   • Gerçek katsayılı bir denklemin köklerinden biri $a + bi$ karmaşık sayısı ise diğer kök $a - bi$ eşleniğidir.