İrrasyonel Sayılar Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Bir gerçek sayının rasyonel ya da irrasyonel olduğuna karar verirken o sayının ondalık açılımı nesnel bir kanıt sunar. İki tam sayının oranı biçiminde, yani b sıfırdan farklı olmak üzere $a/b$ şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Bu biçimde yazılamayan gerçek sayılar ise irrasyonel sayı olarak adlandırılır.

   Bir sayının rasyonel olup olmadığını doğrudan göremediğimiz durumlarda bölme işlemi yaparak ya da hesaplama araçlarından yararlanarak sayının ondalık basamaklarının nasıl ilerlediğini inceleriz. Ondalık kısımdaki bu davranış, sayının türünü belirlemede temel ölçütümüzdür.

   Farklı matematiksel ifadelerin bölme işlemi veya kök hesaplamasıyla elde edilen ondalık açılımları üç temel grupta toplanır:

   • Sonlu Ondalık Gösterimler: Ondalık kısmı belirli bir basamakta sonlanan sayılardır. Örneğin, $3/4 = 0{,}75$ ve $\sqrt{36} = 6 = 6{,}0$ gösterimleri sonludur.
   • Devirli Sonsuz Ondalık Gösterimler: Ondalık kısmı sonsuza kadar düzenli bir periyotla tekrar eden sayılardır. Örneğin, $1/3 = 0{,}333\dots = 0{,}\overline{3}$ ve $7/45 = 0{,}1555\dots = 0{,}1\overline{5}$ gösterimleri devirlidir.
   • Devirsiz (Düzensiz) Sonsuz Ondalık Gösterimler: Ondalık basamakları sonsuza giden ancak hiçbir düzenli tekrar içermeyen sayılardır. Örneğin, tam kare olmayan sayıların karekökleri olan $\sqrt{2} \approx 1{,}4142135\dots$ ve $\sqrt{3} \approx 1{,}7320508\dots$ ile $\pi \approx 3{,}1415926\dots$ bu türdendir.

   Elde edilen ondalık gösterimler ölçütümüzle karşılaştırıldığında şu genel sonuçlara ulaşılır:

   • Ondalık kısmı sonlu veya devirli sonsuz olan her sayı, cebirsel yöntemlerle iki tam sayının oranı ($a/b$) biçimine dönüştürülebilir. Bu nedenle bu sayılar kesinlikle rasyonel sayılardır.
   • Ondalık kısmı düzensiz biçimde sonsuza uzanan sayılar ise hiçbir zaman iki tam sayının oranı olarak ifade edilemez. Dolayısıyla bu sayılar irrasyonel sayılardır.

   Bir sayının farklı biçimlerde yazılması (örneğin $0{,}5$, $1/2$ ve $1/\sqrt{4}$ gösterimlerinin tümünün aynı değeri ifade etmesi) sayının değerini veya rasyonel olma niteliğini değiştirmez. Karar verirken temsil biçimine değil, sayının gerçek değerine ve ondalık yapısına odaklanılmalıdır.