Gerçek Sayılar ve Sayı Aralıkları Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Sayı sistemleri, sayma ihtiyacından doğup genişleyerek gerçek sayılara kadar uzanır. Doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar sayı doğrusuna yerleştirildiğinde doğrunun tüm noktaları dolmaz; arada boşluklar kalır. Bu boşlukları irrasyonel sayılar doldurur.

   • Rasyonel Sayılar: İki tam sayının oranı biçiminde yazılabilen sayılardır.
   • İrrasyonel Sayılar: İki tam sayının oranı biçiminde yazılamayan, virgülden sonra devretmeksizin sonsuza giden sayılardır ($\sqrt{2}$, $\pi$ gibi).

   Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimiyle gerçek sayılar kümesi oluşur. Sayı doğrusu üzerindeki her noktaya tam olarak bir gerçek sayı, her gerçek sayıya da sayı doğrusunda tam bir nokta karşılık gelir.

   Sayı doğrusunda seçilen iki nokta ve bu iki nokta arasında kalan tüm gerçek sayıların oluşturduğu kümeye aralık adı verilir. Uç noktaların aralığa dâhil olup olmamasına göre aralıklar sınıflandırılır:

   • Kapalı Aralık: Uç noktaların her ikisi de aralığa dâhildir. Sayı doğrusunda uç noktalar dolu daire ile gösterilir. Sembolle [a, b] biçiminde yazılır ve eşitsizlik olarak a ≤ x ≤ b şeklinde ifade edilir.
   • Açık Aralık: Uç noktaların ikisi de aralığa dâhil değildir. Sayı doğrusunda bu noktaların içi boş bırakılır. Sembolle (a, b) biçiminde yazılır ve eşitsizlik olarak a < x < b şeklinde ifade edilir.
   • Yarı Açık Aralık: Uç noktalardan yalnızca birinin dâhil olduğu aralıktır. [a, b) veya (a, b] biçiminde gösterilir.

   Sayı doğrusunda bir sınırın belirlenmediği ve sonsuza uzandığı durumlar ise sonsuzluk sembolü ($\infty$) ile gösterilir. Örneğin x ≥ 3 eşitsizliği [3, $\infty$) yarı açık aralığına karşılık gelir.

   Farklı gerçek sayı aralıkları sayı doğrusu üzerinde modellenerek ortak elemanları ya da sınır ilişkileri kolayca incelenebilir.

   Örneğin [-1, 4] kapalı aralığı ile (2, 6) açık aralığını ele alalım:

   • [-1, 4] aralığı, -1 ve 4 sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm gerçek sayıları içerir.
   • (2, 6) aralığı, 2 ve 6 sayıları dâhil olmamak üzere bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları içerir.

   Bu iki aralığın kesiştiği ortak bölge incelendiğinde, her iki aralıkta da bulunan sayıların 2'den büyük ve 4'e eşit ya da 4'ten küçük gerçek sayılar olduğu görülür. Bu durum sembolle (2, 4] yarı açık aralığı olarak gösterilir.