Doğrusal Fonksiyonların Grafikleri Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Doğruların Birbirine Göre Konumları

   Dik koordinat sisteminde denklemleri $y = m_1x + n_1$ ve $y = m_2x + n_2$ biçiminde verilen iki doğrusal fonksiyonun birbirine göre durumu incelenirken ilk olarak doğruların eğimleri karşılaştırılır.

   Eğim, bir doğrunun yatay eksenle yaptığı açının yönünü ve dikliğini belirleyen temel değişkendir.

   • Eğimleri Eşit ve Y-Kesenleri Farklı Doğrular: İki doğrunun eğimleri birbirine eşit ($m_1 = m_2$) ve $y$ eksenini kestikleri noktalar farklı ($n_1 \neq n_2$) ise bu doğrular dik koordinat sisteminde hiçbir zaman kesişmez. Dolayısıyla bu iki doğru paraleldir.
   • Örnek: $y = 3x + 2$ ve $y = 3x - 5$ doğrularının her ikisinin de eğimi $3$'tür. Sabit terimleri farklı olduğu için bu doğrular birbirine paraleldir ve ortak noktaları yoktur.

   Farklı Eğimli Doğruların Kesişimi

   Eğimleri birbirinden farklı olan ($m_1 \neq m_2$) iki doğru, düzlemde mutlaka tek bir noktada kesişir.

   Kesişim noktası hem birinci doğrunun hem de ikinci doğrunun denklemini aynı anda sağlar. Bu nokta $(a, b)$ ise doğrusal fonksiyonlar için şu eşitlik geçerlidir:

   $f(a) = b$ ve $g(a) = b$

   • Kesişim Noktasının Bulunması: İki doğrunun kesişim noktasını belirlemek için doğru denklemleri birbirine eşitlenir: $m_1x + n_1 = m_2x + n_2$.
   • Bulunan $x$ değeri denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak kesişim noktasının $y$ değeri elde edilir.
   • Örnek: $y = 2x + 1$ ve $y = -x + 4$ doğrularının eğimleri farklıdır ($2 \neq -1$). Bu doğrular $2x + 1 = -x + 4 \implies 3x = 3 \implies x = 1$ ve $y = 3$ olmak üzere $(1, 3)$ noktasında kesişir.

   Dik Kesişme Durumu ve Eğim Çarpımı

   Kesişen doğrular arasında özel ve önemli bir durum, doğruların birbirine dik olmasıdır.

   Eksenlere paralel veya dik olmayan iki doğrunun dik kesişmesi durumunda eğimleri arasında belirgin bir bağıntı vardır:

   • Diklik Şartı: İki doğru birbirine dik ise eğimlerinin çarpımı $-1$'e eşittir: $m_1 \cdot m_2 = -1$.
   • Bu durum, doğrulardan birinin eğimi $m$ iken diğerinin eğiminin $-\frac{1}{m}$ olması anlamına gelir.
   • Örnek: $y = 4x - 2$ doğrusu ile $y = -\frac{1}{4}x + 5$ doğrusunun eğimleri çarpımı $4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -1$ olduğu için bu iki doğru dik koordinat sisteminde dik açıyla kesişir.

   Genel Değerlendirme Tablosu

   Denklemleri $y = m_1x + n_1$ ve $y = m_2x + n_2$ olan iki doğrunun durumları katsayılarına göre şöyle özetlenir:

   • $m_1 = m_2$ ve $n_1 \neq n_2$: Doğrular paraleldir, ortak noktaları yoktur.
   • $m_1 = m_2$ ve $n_1 = n_2$: Doğrular çakışıktır, sonsuz sayıda ortak noktaları vardır.
   • $m_1 \neq m_2$: Doğrular tek bir noktada kesişir.
   • $m_1 \cdot m_2 = -1$: Doğrular dik kesişir.

   Doğrusal fonksiyonların kuralındaki değişim oranları incelenerek çizim yapmaya gerek kalmadan grafiklerin birbirine göre konumları hakkında kesin çıkarımlarda bulunulabilir.