Olasılık Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. 1. Olasılık Uzayı Kavramı

   Modern olasılık teorisi, Andrei Kolmogorov tarafından 1933 yılında ortaya konan aksiyomatik temeller üzerine inşa edilmiştir. Bir rastgele deneyin matematiksel modeli, $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ üçlüsü ile tanımlanan bir olasılık uzayıdır.

   • Örneklem Uzayı ($\Omega$): Deneyin tüm olası çıktılarının kümesidir.
   • $\sigma$-Cebiri ($\mathcal{F}$): $\Omega$'nın alt kümelerinden oluşan, tümleme ve sayılabilir birleşim işlemleri altında kapalı olan olaylar ailesidir.
   • Olasılık Ölçüsü ($P$): $\mathcal{F}$ üzerinde tanımlı ve reel değerler alan bir fonksiyondur.

   2. Kolmogorov Aksiyomları

   Bir $P: \mathcal{F} ightarrow \mathbb{R}$ küme fonksiyonunun olasılık ölçüsü olabilmesi için aşağıdaki üç temel aksiyomu sağlaması zorunludur:

   1. Negatif Olmama (Non-negativity): Her $A \in \mathcal{F}$ için $P(A) \ge 0$.
   2. Normlama (Normalization): Örneklem uzayının kesin olasılığı birdir: $P(\Omega) = 1$.
   3. Sayılabilir Toplanabilirlik ($\sigma$-Additivity): $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{F}$ dizisi karşılıklı ayrık olaylar ($i \neq j$ için $A_i \cap A_j = \emptyset$) olmak üzere,P\left(igcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)eşitliği sağlanır.

   Olasılık Ölçüsünün Cebirsel Sonuçları

   Kolmogorov aksiyomları doğrudan kullanılarak olayların olasılıklarına ilişkin temel teoremler türetilir:

   • Boş Kümenin Olasılığı: İmkânsız olayın gerçekleşme olasılığı sıfırdır: $P(\emptyset) = 0$.
   • Tümleyen Olay Kuralı: Bir $A$ olayının tümleyeni $A^c$ olmak üzere, $P(A^c) = 1 - P(A)$'dır.
   • Monotonluk (Monotonicity): $A \subseteq B$ ise $P(A) \le P(B)$ ve $P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$ bağıntısı geçerlidir.
   • Sınırlılık: Her $A \in \mathcal{F}$ için $0 \le P(A) \le 1$ eşitsizliği korunur.

   Toplama Kuralı (İçerme-Dışarma İlkesi)

   Ayrık olmayan iki olay $A$ ve $B$ için birleşim kümesinin olasılığı şu şekilde hesaplanır:

   $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

   Bu bağıntı genel sonlu durumlar için de tümevarım yoluyla genişletilebilir.

   Koşullu Olasılık

   Bir $B$ olayının gerçekleştiği bilindiğinde, $A$ olayının gerçekleşme olasılığına koşullu olasılık denir ve $P(B) > 0$ olmak koşuluyla şu şekilde tanımlanır:

   $$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

   Koşullu olasılık fonksiyonu $P(\cdot \mid B)$, $\mathcal{F}$ $\sigma$-cebiri üzerinde Kolmogorov aksiyomlarını sağlayan geçerli bir olasılık ölçüsüdür.

   Çarpım Kuralı

   İki olayın arakesit olasılığı, koşullu olasılık tanımından doğrudan elde edilir:

   $$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$$

   Olayların İstatistiksel Bağımsızlığı

   Birbirinin gerçekleşmesini etkilemeyen iki olay bağımsızdır. Matematiksel olarak $A$ ve $B$ olayları ancak ve ancak aşağıdaki koşul sağlandığında bağımsız kabul edilir:

   $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

   Eğer $A$ ve $B$ bağımsızsa ve $P(B) > 0$ ise $P(A \mid B) = P(A)$ eşitliği elde edilir.

   Örneklem Uzayının Parçalanışı

   $B_1, B_2, \dots, B_n$ olayları karşılıklı ayrık ($i \neq j$ için $B_i \cap B_j = \emptyset$) ve igcup_{i=1}^n B_i = \Omega koşulunu sağlıyorsa, bu aileye $\Omega$'nın bir parçalanışı (partition) denir ($P(B_i) > 0$).

   Toplam Olasılık Teoremi

   Herhangi bir $A \in \mathcal{F}$ olayının marjinal olasılığı, parçalanış üzerinden koşullandırılarak ifade edilir:

   $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$$

   Bayes Teoremi

   Bayes kuralı, gözlemlenen bir $A$ olayı ($P(A) > 0$) ışığında, parçalanışı oluşturan hipotezlerden birinin sonsal (a posteriori) olasılığını belirler:

   $$P(B_k \mid A) = \frac{P(B_k \cap A)}{P(A)} = \frac{P(B_k) \cdot P(A \mid B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)}$$

   Burada $P(B_k)$ önsel (a priori) olasılık, $P(A \mid B_k)$ ise olabilirlik (likelihood) değerini temsil eder.