Bölme ve Bölünebilme Kuralları Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Doğal sayılarda bölme işlemi, bir çokluğun eşit parçalara ayrılmasını ve bu paylaştırmadan arta kalan miktarın analizini içerir. $A$, $B$, $C$ ve $K$ birer doğal sayı ve $B \neq 0$ olmak üzere bölme işlemi şu temel bileşenlerden oluşur:

   • Bölünen ($A$): Eşit parçalara ayrılacak ana sayı.
   • Bölen ($B$): Kaç eşit parçaya ayrılacağını belirten sayı.
   • Bölüm ($C$): Parçalardan her birinin büyüklüğü.
   • Kalan ($K$): Bölme sonucunda paylaştırılamayan miktar.

   Bölme işleminin matematiksel geçerliliği için iki temel koşul sağlanmalıdır:

   1. Temel Bölme Bağıntısı: $$A = B \cdot C + K$$
   2. Kalan Koşulu: $$0 \le K < B$$

   Eğer $K = 0$ ise $A$ sayısı $B$ sayısına tam bölünür denir. Ayrıca $K < C$ koşulu sağlanıyorsa, bölen ile bölümün yeri değiştirildiğinde kalan değeri değişmez.

   Onluk sayı tabanında sayının son basamaklarının konumu, 10'un kuvvetleri ile olan ilişkisinden dolayı bazı özel bölünebilme kurallarını belirler.

   • 2 ile Bölünebilme: Sayının birler basamağı çift rakam ($0, 2, 4, 6, 8$) olmalıdır. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan daima $1$'dir.
   • 5 ile Bölünebilme: Sayının birler basamağı $0$ veya $5$ olmalıdır. Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, birler basamağının 5 ile bölümünden kalana eşittir.
   • 10 ile Bölünebilme: Sayının birler basamağı $0$ olmalıdır. Birler basamağındaki rakam doğrudan sayının 10 ile bölümünden kalanı verir.
   • 4 ile Bölünebilme: Sayının son iki basamağının oluşturduğu iki basamaklı sayı $00$ veya $4$'ün tam katı olmalıdır.
   • 8 ile Bölünebilme: Sayının son üç basamağının oluşturduğu üç basamaklı sayı $000$ veya $8$'in tam katı olmalıdır.

   Sayı basamaklarının $10^n = 9 \cdot k + 1$ şeklinde çözümlenmesi, 3 ve 9 ile bölünebilme mantığını oluşturur.

   • 3 ile Bölünebilme: Bir sayının rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı ise bu sayı 3'e tam bölünür. Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
   • 9 ile Bölünebilme: Bir sayının rakamları toplamı 9 veya 9'un katı ise bu sayı 9'a tam bölünür. Kalan bulma işleminde de rakamlar toplamı esas alınır.
   • 11 ile Bölünebilme: Sayının basamakları birler basamağından başlanarak sola doğru sırasıyla $+$ ve $-$ işaretleriyle kodlanır: $$\dots + e - d + c - b + a$$ Elde edilen işaretli toplam 11'in tam katı ($0, 11, -11, \dots$) ise sayı 11'e tam bölünür. Sonuç negatif çıkarsa pozitif bir kalan elde edilene kadar sonuca 11 eklenir.

   Aralarında asal iki çarpanın her birine tam bölünebilen bir sayı, bu iki çarpanın çarpımına da tam bölünür.

   • 6 ile Bölünebilme: Aralarında asal çarpanları 2 ve 3 olduğundan, hem 2'ye hem de 3'e tam bölünen sayılar 6'ya tam bölünür.
   • 12 ile Bölünebilme: Sayı hem 3'e hem de 4'e tam bölünmelidir.
   • 15 ile Bölünebilme: Sayı hem 3'e hem de 5'e tam bölünmelidir.
   • 36 ile Bölünebilme: Sayı hem 4'e hem de 9'a tam bölünmelidir.

   Bileşik Sayılarda Kalan Bulma Stratejisi:

   Bir sayının $m \cdot n$ ile bölümünden kalan aranırken, sayının ayrı ayrı $m$ ve $n$ ile bölümünden kalanlar incelenir. Örneğin bir sayının 36 ile bölümünden kalan $K$ ise, $K$ değeri hem 4 hem de 9 ile test edildiğinde sayının bu çarpanlarla verdiği kalanları sağlamalıdır.