Asal Çarpanlar ve Bölen Sayısı Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Aritmetiğin Temel Teoremi

   1'den büyük her tam sayı ya bir asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı biçiminde tek bir şekilde (çarpanların sırası gözetilmeksizin) yazılabilir.

   Bir $A$ pozitif tam sayısı; $p_1, p_2, \dots, p_k$ birbirinden farklı asal sayılar ve $a_1, a_2, \dots, a_k$ pozitif tam sayılar olmak üzere şu şekilde ifade edilir:

   $A = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$

   Bu gösterime $A$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi denir.

   Bölen Sayılarının Hesaplanması

   $A = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$ asal çarpanlara ayrılışında her bir asal çarpanın üssü birer artırılarak çarpıldığında pozitif bölen sayısı elde edilir.

   • Pozitif Bölen Sayısı (PBS): $(a_1 + 1)(a_2 + 1)\dots(a_k + 1)$
   • Tam Sayı Bölen Sayısı (TBS): Her pozitif bölenin bir negatif karşılığı olduğundan, $TBS = 2 \cdot PBS$ formülü ile bulunur.
   • Asal Bölen Sayısı: Tabanı oluşturan farklı asal sayıların adedidir; yani $k$ tanedir.
   • Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı: $PBS - k$ bağıntısıyla hesaplanır.

   Bölenlerin Toplamı ve Çarpımı Formülleri

   Bir sayının tüm pozitif bölenlerinin toplamı ve çarpımı da asal çarpanların kuvvetleri yardımıyla belirlenir.

   • Pozitif Bölenlerin Toplamı (PBT):
     $PBT = \frac{p_1^{a_1+1} - 1}{p_1 - 1} \cdot \frac{p_2^{a_2+1} - 1}{p_2 - 1} \dots \frac{p_k^{a_k+1} - 1}{p_k - 1}$
   • Pozitif Bölenlerin Çarpımı (PBÇ):
     $PBÇ = A^{\frac{PBS}{2}}$
   • Tam Sayı Bölenlerinin Toplamı: Pozitif ve negatif bölenler simetrik olduğundan, tüm tam sayı bölenlerinin toplamı her zaman 0'a eşittir.

   Koşullu Bölen Sayılarının Belirlenmesi

   Tek, çift veya belirli bir sayının katı olan bölenlerin sayısı incelenirken ilgili çarpanlar paranteze alınarak işlem yapılır.

   Örnek: $360$ sayısını inceleyelim.

   • $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$
   • $PBS = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$
   • Çift Pozitif Bölen Sayısı: Bir adet 2 çarpanı dışarı alındığında $2 \cdot (2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1)$ elde edilir. Parantez içi için $PBS = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18$ bulunur.
   • Tek Pozitif Bölen Sayısı: 2 asal çarpanı tamamen dışlandığında kalan kısım $3^2 \cdot 5^1$ olur. Buradan $PBS = (2 + 1)(1 + 1) = 6$ elde edilir.