Rasyonel Sayılar ve Ondalık Kesirler Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Rasyonel Sayı Nedir?

   Rasyonel sayılar, b sıfırdan farklı bir tam sayı ve a bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ biçiminde yazılabilen tüm sayıların oluşturduğu kümedir. Bu küme genellikle $\mathbb{Q}$ sembolü ile gösterilir.

   • Pay (a): İncelenen parçanın kaç adet olduğunu belirtir.
   • Payda (b): Bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü gösterir ve $b \neq 0$ koşulu aranır.

   Tüm tam sayılar, paydalarına 1 yazılabildiği için aynı zamanda birer rasyonel sayıdır. Örneğin, $-3 = \frac{-3}{1}$ ve $5 = \frac{5}{1}$ şeklinde ifade edilir.

   Payı Paydaya Bölme ve Genişletme

   Bir rasyonel sayıyı ondalık kesir olarak yazmak için iki temel yöntem kullanılır:

   1. Paydayı 10'un Kuvveti Yapma: Kesir sadeleştirilerek veya genişletilerek paydası 10, 100, 1000 gibi onun pozitif tam sayı kuvvetlerine dönüştürülür. Örneğin, $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0{,}6$ olur.
   2. Payı Paydaya Bölme: Kesrin payı paydasına bölünerek bölme işlemi yürütülür. Örneğin, $\frac{3}{8}$ kesrinde 3 sayısı 8'e bölündüğünde kalan sıfırlanır ve $0{,}375$ sonucu elde edilir.

   Bölme işleminde kalan sıfırlanmıyor ve belirli basamaklar düzenli olarak tekrar ediyorsa, bu tür ifadelere devirli ondalık gösterim denir. Örneğin, $\frac{1}{3} = 0{,}333... = 0{,}\overline{3}$ biçiminde gösterilir.

   Dönüşüm Kuralları

   Verilen bir ondalık gösterim, ondalık kısmın yapısına göre doğrudan rasyonel sayıya dönüştürülebilir:

   • Sonlu Ondalık Gösterimler: Ondalık kısımda virgülden sonra kaç basamak varsa, payda o kadar sıfır içeren onun kuvveti olarak yazılır ve kesir en sade hâline getirilir. Örneğin, $0{,}45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$ olur.
   • Devirli Ondalık Gösterimler: Sayının tamamından devretmeyen kısım çıkarılarak paya yazılır. Paydaya ise virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0 konulur.

   Örnek olarak $1{,}2\overline{6}$ sayısı ele alındığında: pay için $126 - 12 = 114$, payda için ise bir devreden basamak ve virgülden sonra bir devretmeyen basamak bulunduğu için 90 yazılır. Böylece $\frac{114}{90} = \frac{19}{15}$ rasyonel sayısı elde edilir.