Kareköklü Sayılar Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Karekök Kavramı

   Negatif olmayan bir sayının, hangi negatif olmayan sayının karesi olduğunu bulma işlemine karekök alma denir.

   Bir gerçek sayının karekökü $\sqrt{a}$ sembolü ile gösterilir. Bu ifadenin gerçek sayılar kümesinde tanımlı olabilmesi için kök içindeki sayının sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması zorunludur:

   • $a \ge 0$ olmalıdır.
   • Tanım gereği $\sqrt{a} \ge 0$ sonucunu verir.
   • Örneğin; $\sqrt{25} = 5$ ve $\sqrt{0} = 0$ olurken, $\sqrt{-16}$ ifadesi gerçek sayılar kümesinde bir değer belirtmez.

   $a\sqrt{b}$ Gösterimi

   Kök içindeki bir tam kare çarpan kök dışına mutlak değer prensibiyle çıkarılır. Genel olarak $a \ge 0$ ve $b \ge 0$ için:

   $\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$

   Katsayının karekök içine alınmasında ise katsayının karesi alınarak içerideki sayı ile çarpılır:

   $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ (burada $a \ge 0$)

   • $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
   • $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{45}$

   Çarpma ve Bölme Kuralları

   Negatif olmayan $a$ ve $b$ gerçek sayıları için kareköklerin çarpımı ve bölümü tek bir kök altında birleştirilebilir:

   • Çarpma Kuralı: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
   • Bölme Kuralı: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (burada $b > 0$)

   Katsayılı ifadelerde katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında çarpılır veya bölünür:

   $k\sqrt{a} \cdot m\sqrt{b} = (k \cdot m)\sqrt{a \cdot b}$

   Toplama, Çıkarma ve Eşlenik

   Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma yapılabilmesi için kök derecelerinin ve kök içlerindeki sayıların aynı olması gerekir. Benzer köklerin katsayıları toplanır veya çıkarılır:

   $x\sqrt{a} + y\sqrt{a} = (x + y)\sqrt{a}$

   Paydada kareköklü terim bulunduğunda paydayı rasyonel yapmak için kesir uygun eşlenik ile genişletilir:

   • Paydada tek terim varsa: $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$ (kesir $\sqrt{a}$ ile genişletilir)
   • Paydada iki terimli ifade varsa: $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}$ (kesir $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ ile genişletilir)