İşlem Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. İkili İşlem Nedir?

   Boş olmayan bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı ikili işlem, $A \times A$ kartezyen çarpım kümesinden $A$ kümesine tanımlanan bir fonksiyondur.

   Genellikle $\ast$, $\circ$ veya $\Delta$ gibi sembollerle gösterilen işlem şu biçimde ifade edilir:

   $\ast : A \times A \to A$, $(x, y) \mapsto x \ast y$

   Bu tanım gereği her $x, y \in A$ için elde edilen $x \ast y$ sonucu yine $A$ kümesinin bir elemanı olmalıdır. Bu temel kurala kapalılık özelliği denir.

   Değişme Özelliği

   Bir $A$ kümesinde tanımlı $\ast$ işlemi için her $x, y \in A$ koşulunda $x \ast y = y \ast x$ eşitliği sağlanıyorsa, bu işlemin değişme özelliği vardır.

   Birleşme Özelliği

   Her $x, y, z \in A$ için $(x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z)$ eşitliği sağlanıyorsa, işlemin birleşme özelliği bulunur. Bu özellik, ikiden fazla eleman işleme alındığında parantezlerin sonucunu değiştirmediğini garanti eder.

   Birim (Etkisiz) Eleman

   Her $x \in A$ için $x \ast e = e \ast x = x$ eşitliğini sağlayan bir $e \in A$ elemanı mevcutsa, $e$ elemanına işlemin birim (etkisiz) elemanı denir. Bir işlemde birim eleman varsa tektir.

   Yutan Eleman

   Her $x \in A$ için $x \ast y_0 = y_0 \ast x = y_0$ eşitliğini sağlayan bir $y_0 \in A$ elemanına işlemin yutan elemanı denir.

   Ters Eleman

   Birim elemanı $e$ olan bir işlemde, bir $x \in A$ için $x \ast x^{-1} = x^{-1} \ast x = e$ eşitliğini sağlayan $x^{-1} \in A$ elemanına $x$ elemanının tersi denir.

   • Bir elemanın tersi tanımlıysa tektir.
   • Birim elemanın tersi kendisine eşittir: $e^{-1} = e$.
   • Yutan elemanın tersi yoktur.
   • Birleşme özelliği bulunan bir yapıda $(x \ast y)^{-1} = y^{-1} \ast x^{-1}$ eşitliği geçerlidir.