İşçi Problemleri Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Birim Zaman Yaklaşımı

   İşçi problemlerinin çözümünde temel ilke, yapılan işin tamamını 1 tam iş kabul ederek çalışanların birim zamanda (1 saatte, 1 günde vb.) işin ne kadarını bitirdiğini belirlemektir.

   • Bir işçi işin tamamını t günde bitiriyorsa, 1 günde işin $\frac{1}{t}$ kadarını bitirir.
   • İşçi x gün çalışırsa, işin $\frac{x}{t}$ kadarını tamamlamış olur.
   • İşin tamamen bitmesi durumunda yapılan iş miktarı 1 değerine eşitlenir.

   Birden Fazla İşçinin Birlikte Çalışması

   Farklı hızlardaki işçiler birlikte çalıştıklarında birim zamanda yaptıkları iş miktarları toplanır.

   Birinci işçi bir işi tek başına a günde, ikinci işçi aynı işi tek başına b günde bitiriyorsa, ikisi birlikte bu işi t günde tamamlasın:

   Birim zaman denklemi:

   $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}$

   Üç işçi birlikte çalıştığında ise bağıntı şu biçimi alır:

   $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{t}$

   Bu eşitlikte her bir kesirli ifade, ilgili işçinin birim zamanda ürettiği iş payını göstermektedir.

   Kapasite ile Bitirme Süresi Arasındaki Ters Orantı

   Bir işçinin çalışma hızı (kapasitesi) ile işi bitirme süresi ters orantılıdır.

   • Kapasitesi v olan bir işçi bir işi 2t sürede bitiriyorsa, kapasitesini iki katına çıkarıp 2v yaptığında aynı işi t sürede tamamlar.
   • Eşit kapasiteye sahip n sayıda işçi birlikte çalıştığında, işin bitirilme süresi tek bir işçinin bitirme süresinin n'de birine düşer.
   • İş miktarı doğrudan hız ve zamanın çarpımı ile orantılı biçimde modellenebilir.

   Birlikte Başlayıp Ayrılma Durumları

   İşçilerin farklı sürelerde çalıştığı ya da işçilerden birinin belirli bir süre sonra işi bıraktığı durumlarda, her aşamada tamamlanan iş miktarları toplanarak 1'e eşitlenir.

   Birinci işçi tek başına a sürede, ikinci işçi b sürede bitiriyor olsun. İkisi birlikte $t_1$ süre çalıştıktan sonra birinci işçi ayrılırsa ve kalan işi ikinci işçi tek başına $t_2$ sürede tamamlarsa bağıntı şu şekilde kurulur:

   $\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \cdot t_1 + \frac{1}{b} \cdot t_2 = 1$

   Eğer işin tamamı değil de sadece bir kısmı tamamlanmışsa, eşitliğin sağ tarafına 1 yerine hedeflenen kesir yazılır.

   Örnek Soru Üzerinden Adım Adım Analiz

   Soru: Bir işi tek başına Ali 12 günde, Burak ise 24 günde tamamlamaktadır. İkisi birlikte 3 gün çalıştıktan sonra Ali işi bırakıyor. Kalan işi Burak tek başına kaç günde bitirir?

   Çözüm Aşamaları:

   1. Birim zamandaki paylar: Ali 1 günde işin $\frac{1}{12}$'sini, Burak ise $\frac{1}{24}$'ünü yapar.
   2. Birlikte yapılan iş: 3 günde birlikte $3 \cdot \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{24} \right) = 3 \cdot \frac{3}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ kadar iş tamamlanır.
   3. Kalan iş: İşin tamamı 1 olduğundan geriye $1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ iş kalır.
   4. Burak'ın tamamlama süresi: Burak'ın kalan işi bitirme süresine x denirse: $x \cdot \frac{1}{24} = \frac{5}{8}$ denkleminden $x = 15$ gün olarak bulunur.