Hız – Hareket Problemleri Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Hareketin Temel Bağıntısı

   Hız ve hareket problemlerinde çözümler, alınan yol ile hareket süresi ve hız arasındaki doğrusal ilişkiye dayanır. Düzgün doğrusal bir harekette bağıntı:

   $$x = v \cdot t$$

   • x: Alınan yol
   • v: Sabit hız
   • t: Geçen süre

   Bu bağıntının doğru işletilebilmesi için birimlerin birbirine uyumlu olması şarttır. Yol kilometre (km) cinsinden verildiğinde zaman saat (sa), hız ise km/sa olmalıdır. Benzer şekilde yol metre (m) ise zaman saniye (sn), hız m/sn cinsinden alınmalıdır.

   Birim Dönüşümü

   Bir aracın hızı km/sa biriminden m/sn birimine dönüştürülürken pratik olarak değer $\frac{5}{18}$ ile çarpılır:

   $$1\text{ km/sa} = \frac{1000\text{ m}}{3600\text{ sn}} = \frac{5}{18}\text{ m/sn}$$

   1. Karşıt Yönlü Hareket (Karşılaşma)

   Aralarındaki uzaklık $x$ olan iki hareketli, sırasıyla $v_1$ ve $v_2$ hızlarıyla birbirlerine doğru aynı anda harekete başladıklarında birbirlerine yaklaşma hızları hızlarının toplamına eşittir.

   Karşılaşma süresi $t_{\text{karşılaşma}}$ bağıntısı ile hesaplanır:

   $$x = (v_1 + v_2) \cdot t_{\text{karşılaşma}}$$

   2. Aynı Yönlü Hareket (Yetişme)

   Aralarındaki mesafe $x$ olan iki hareketliden arkadaki $v_1$ hızlı araç, öndeki $v_2$ hızlı aracı yakalamak üzere aynı anda ve aynı yönde harekete geçtiğinde ($v_1 > v_2$), arkadaki aracın öndekine yaklaşma hızı hızların farkı kadardır.

   Yetişme süresi $t_{\text{yetişme}}$ bağıntısı ile hesaplanır:

   $$x = (v_1 - v_2) \cdot t_{\text{yetişme}}$$

   Ortalama Hızın Tanımı

   Farklı etaplarda farklı hızlarla hareket eden bir aracın ortalama hızı, hızların aritmetik ortalaması değildir. Ortalama hız, toplam yer değiştirmenin (veya toplam yolun) toplam geçen süreye oranlanmasıyla bulunur:

   $$v_{\text{ort}} = \frac{x_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{t_1 + t_2 + \dots + t_n}$$

   Eşit Yol Durumu

   Bir araç belirli bir yolu $v_1$ hızıyla gidip, aynı yolu geri dönerken veya eşit uzunluktaki iki yolu $v_2$ hızıyla tamamladığında ortalama hız harmonik ortalama ile ifade edilir:

   $$v_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}$$

   Uyarı: Zamanlar eşit olduğunda ise ortalama hız, hızların aritmetik ortalamasına eşit olur:

   $$v_{\text{ort}} = \frac{v_1 + v_2}{2}$$

   Tren ve Tünel Problemleri

   Bir trenin bir tüneli, köprüyü ya da başka bir treni tamamen geçmesi için aldığı toplam yol, tünelin boyu ile trenin kendi boyunun toplamına eşittir:

   $$x = \text{Boy}_{\text{tren}} + \text{Boy}_{\text{tünel}}$$

   Eğer tren bir elektrik direğini veya duran bir yayayı geçiyorsa, direğin ya da insanın genişliği ihmal edildiğinden tren sadece kendi boyu kadar yol alır.

   Nehir ve Rüzgâr (Akıntı) Problemleri

   Akıntılı bir nehirde veya rüzgârlı bir ortamda hareket eden araçların yere göre hızı, akıntının yönüne bağlıdır:

   • Akıntı ile aynı yönde hareket: $v_{\text{bağıl}} = v_{\text{araç}} + v_{\text{akıntı}}$
   • Akıntıya zıt yönde hareket: $v_{\text{bağıl}} = v_{\text{araç}} - v_{\text{akıntı}}$ (Burada hareketin ilerleyebilmesi için $v_{\text{araç}} > v_{\text{akıntı}}$ olmalıdır.)