Türev Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Türev Kavramı ve Limit Tanımı

   Bir fonksiyonun anlık değişim oranını incelemek için türev tanımı kullanılır. Gerçel değerli bir $f$ fonksiyonunun tanım kümesindeki bir $a$ noktasında türevlenebilir olması, aşağıdaki limitin varlığına bağlıdır:

   $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

   Alternatif olarak $x = a + h$ dönüşümü yapıldığında tanım şu biçimi alır:

   $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

   Geometrik Yorum

   Geometrik açıdan bu limit, $(a, f(a))$ ve $(a+h, f(a+h))$ noktalarından geçen kesen doğrusunun, $h$ sıfıra yaklaşırken aldığı sınır konumunu gösterir. Bu değer, eğriye $x = a$ apsisli noktada çizilen teğet doğrusunun eğimidir ($m = f'(a)$). Teğet doğrusunun denklemi ise şu şekilde ifade edilir:

   $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

   Temel Teorem

   Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilir ise o noktada mutlaka süreklidir. Ancak bu önermenin karşıtı her zaman doğru değildir; sürekli olan bir fonksiyon türevlenemeyebilir.

   • Süreklilik Önkoşulu: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ eşitliği sağlanmıyorsa türevden söz edilemez.
   • Köşe (Kırılma) Noktaları: $f(x) = |x|$ fonksiyonu $x = 0$ noktasında sürekli olmasına karşın sağdan türevi ($1$) ile soldan türevi ($-1$) eşit olmadığından türevli değildir.
   • Düşey Teğet: Kesen eğimleri limiti $\pm \infty$ olduğunda teğet doğrusu düşey konuma gelir ve fonksiyonun sonlu bir türevi bulunmaz.

   Cebirsel İşlemlerin Türevi

   Türev alma operatörü doğrusaldır ve temel cebirsel işlemlerde şu kurallar geçerlidir:

   • Kuvvet Kuralı: $n \in \mathbb{R}$ olmak üzere, $\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$
   • Toplam ve Fark Kuralı: $(f \pm g)'(x) = f'(x) \pm g'(x)$
   • Çarpım Kuralı: $(f \cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
   • Bölüm Kuralı: $\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$, ($g(x) \neq 0$)

   Bu kurallar limitin özellikleri kullanılarak doğrudan türev tanımından ispatlanabilir.

   Zincir Kuralı (Chain Rule)

   İç içe geçmiş fonksiyonların türevinde zincir kuralı uygulanır. $y = f(u)$ ve $u = g(x)$ türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere:

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

   Fonksiyon gösterimiyle:

   $$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

   Kapalı Fonksiyonların Türevi

   $F(x, y) = 0$ biçiminde verilen bağıntılarda $y$ değişkeni $x$'e bağımlı kabul edilerek terim terim türev alınır ve zincir kuralı gereğince $y$'li terimlerin türevinde $\frac{dy}{dx}$ çarpanı eklenir. Ardından $\frac{dy}{dx}$ terimi yalnız bırakılır.