Bölme ve Bölünebilme Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Tam Sayılarda Bölme Algoritması

   Doğal sayılar kümesinde A sayısının B pozitif tam sayısına bölünmesi işleminde A bölünen, B bölen, C bölüm ve K kalan olmak üzere temel bölme bağıntısı şu şekildedir:

   $A = B \cdot C + K$

   Bu eşitliğin geçerli bir bölme işlemi tanımlaması için aşağıdaki koşulların mutlaka sağlanması gerekir:

   • Bölen pozitif bir tam sayıdır: $B > 0$
   • Kalan, negatif olamaz ve her zaman bölenden kesinlikle küçüktür: $0 \le K < B$
   • Eğer $K = 0$ ise, A sayısı B ile tam bölünür denir.
   • Ayrıca $K < C$ koşulu sağlanıyorsa, bölen ile bölüm yer değiştirdiğinde kalan değişmez.

   Sık Kullanılan Bölünebilme Kuralları

   Bir tam sayının belirli sayılara tam bölünüp bölünmediğini pratik yoldan belirlemek için basamak çözümlemesinden türetilen kurallar kullanılır:

   • 2 ile Bölünebilme: Birler basamağındaki rakam çift (0, 2, 4, 6, 8) olan sayılar 2 ile tam bölünür.
   • 3 ile Bölünebilme: Rakamları toplamı 3 veya 3\'ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
   • 4 ile Bölünebilme: Son iki basamağının oluşturduğu iki basamaklı sayı 00 veya 4\'ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.
   • 5 ile Bölünebilme: Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
   • 8 ile Bölünebilme: Son üç basamağının oluşturduğu sayı 8\'in tam katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.
   • 9 ile Bölünebilme: Rakamları toplamı 9 veya 9\'un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
   • 10 ile Bölünebilme: Birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür.
   • 11 ile Bölünebilme: Sayının rakamları birler basamağından başlanarak sola doğru sırasıyla (+, -, +, -, ...) işaretleriyle çarpılıp toplanır. Elde edilen toplam 11\'in katı ise sayı 11 ile tam bölünür.

   Bileşik Sayılarla Bölünebilme

   Doğrudan tek bir kuralı bulunmayan bileşik sayılar için bölünebilme incelenirken, bölen sayı aralarında asal iki çarpanın çarpımı şeklinde yazılır. Bir tam sayının m ve n aralarında asal olmak üzere $m \cdot n$ sayısına tam bölünebilmesi için hem m hem de n ile ayrı ayrı tam bölünebilmesi zorunludur.

   • 6 ile Bölünebilme: Hem 2 hem de 3 ile tam bölünebilen sayılar 6 ile tam bölünür.
   • 12 ile Bölünebilme: Hem 3 hem de 4 ile tam bölünebilen sayılar 12 ile tam bölünür.
   • 15 ile Bölünebilme: Hem 3 hem de 5 ile tam bölünebilen sayılar 15 ile tam bölünür.
   • 36 ile Bölünebilme: Hem 4 hem de 9 ile tam bölünebilen sayılar 36 ile tam bölünür.
   • 45 ile Bölünebilme: Hem 5 ile hem de 9 ile tam bölünebilen sayılar 45 ile tam bölünür.

   Uygulama Stratejisi: Çok basamaklı sayılarda bilinmeyen rakamları bulurken öncelikle sadece son basamağı (veya son birkaç basamağı) ilgilendiren kurallar (2, 4, 5, 8, 10 gibi) uygulanır; ardından tüm basamakları ilgilendiren kurallar (3, 9, 11 gibi) incelenir.