Problemler Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Problem Çözme Sürecinde Matematiksel Modelleme

   Bir matematiksel problemin çözümü; verilen durumun analiz edilmesi, bilinmeyenlerin tanımlanması ve sözel bağıntıların cebirsel denklemlere dönüştürülmesi adımlarını içerir.

   Değişken Belirleme ve Denklem Kurma İlkeleri

   • Bilinmeyen Sayısını En Aza İndirme: Aralarında bağıntı bulunan çok sayıda niceliği ayrı değişkenlerle ($x, y, z$) adlandırmak yerine, mümkünse birbirleri cinsinden ifade etmek çözüm sürecini kolaylaştırır.
   • Tanım ve Değer Kümelerini Belirleme: Bulunan köklerin fiziksel veya mantıksal gerçeklikle uyuşması zorunludur. Örneğin; kişi sayısı, gün sayısı veya bilye adedi negatif ya da kesirli olamaz ($x \in \mathbb{Z}^+$).
   • Birim Tutarlılığı: Tüm nicelikler aynı birim cinsinden yazılmalıdır. Örneğin; hız kilometre/saat cinsindense, süre saat cinsinden alınmalıdır.

   Birim Zaman Yaklaşımı: Hız ve İş Problemleri

   Hız ve iş problemleri, tüketilen süre ile üretilen iş veya kat edilen mesafe arasındaki doğrusal orantı prensibine dayanır.

   Temel Bağıntılar

   İş modellerinde toplam iş $W$, kapasite (birim zamanda yapılan iş) $v$ ve geçen süre $t$ olmak üzere:

   $$W = v \cdot t$$

   • Birinci işçi bir işi tek başına $t_1$ sürede, ikinci işçi $t_2$ sürede bitiriyorsa; birlikte çalıştıklarında birim zamanda yaptıkları iş toplamı:

   $$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t_{\text{birlikte}}}$$

   Hareket Problemlerinde Bağıl Hız

   • Zıt Yönlü Hareket: Aralarında $x$ mesafe bulunan iki hareketli birbirlerine doğru hareket ettiğinde karşılaşma süresi $t = \frac{x}{v_1 + v_2}$ olur.
   • Aynı Yönlü Hareket: Hızlı olan hareketlinin yavaş olanı yakalama süresi $t = \frac{x}{v_1 - v_2}$ bağıntısıyla bulunur.

   Korunum İlkeleri: Karışım, Yüzde ve Kâr-Zarar Modelleri

   Karışım ve ticari matematik problemleri kütlenin ve maliyetin korunumu ilkesiyle çözümlenir.

   Karışım Problemleri ve Kütle Dengesi

   Farklı konsantrasyona sahip iki çözelti karıştırıldığında toplam saf madde miktarı korunur. Kütleleri $m_1, m_2$ ve yüzde derişimleri sırasıyla $y_1, y_2$ olan iki karışım için son karışımın yüzdesi ($y_{\text{son}}$):

   $$m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2 = (m_1 + m_2) \cdot y_{\text{son}}$$

   Kâr ve Zarar Bağıntıları

   Maliyet fiyatı $M$, satış fiyatı $S$ ve kâr oranı $k$ olmak üzere:

   • Kârlı satış: $S = M \cdot (1 + k)$
   • Zararlı satış: $S = M \cdot (1 - z)$
   • İskonto (indirim) doğrudan satış (etiket) fiyatı üzerinden uygulanır: $S_{\text{yeni}} = S \cdot (1 - i)$

   Tam Sayı Kısıtları ve Doğrusal Olmayan Modellemeler

   Gerçek hayat problemlerinde değişkenlerin süreksiz (ayrık) değerler alması gerekebilir.

   Diophantus Denklem Modeli

   Bilinmeyen sayısı denklem sayısından fazla olduğunda, tam sayı kısıtlaması ($ax + by = c$, $x,y \in \mathbb{Z}$) çözüm kümesini sınırlandırır:

   • Denklemin tam sayılarda çözümünün olabilmesi için $\text{ebob}(a, b)$ değerinin $c$ sayısını bölmesi gerekir.
   • Bir özel çözüm $(x_0, y_0)$ bulunduğunda, genel çözümler şu formla üretilir:

   $$x = x_0 + k \cdot \frac{b}{\text{ebob}(a, b)}, \quad y = y_0 - k \cdot \frac{a}{\text{ebob}(a, b)} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

   Pozitiflik şartı ($x > 0, y > 0$) dikkate alınarak $k$ için uygun değer aralığı belirlenir.