Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Çarpanlara ayırma, bir cebirsel ifadeyi iki veya daha fazla cebirsel ifadenin çarpımı biçiminde yazma işlemidir.

   Bir ifadedeki tüm terimlerde ortak bir çarpan bulunuyorsa, bu terimler ortak çarpan parantezine alınır. Dağılma özelliğinin tersi uygulanarak ifade sadeleştirilir.

   Genel Kural

   Verilen bir cebirsel toplamda her terimde bulunan ortak çarpan parantezin dışına yazılır:

   $A \cdot B + A \cdot C = A(B + C)$

   Örneğin; $6x^3 - 9x^2$ ifadesinde her iki terimin en büyük ortak böleni $3x^2$ olduğundan ifade şu şekilde çarpanlarına ayrılır:

   $6x^3 - 9x^2 = 3x^2(2x - 3)$

   Verilen cebirsel ifadenin tüm terimlerinde ortak bir çarpan bulunmuyorsa, terimler ikişerli veya üçerli gruplara ayrılarak incelenir. Her grup kendi içinde ortak çarpan parantezine alındıktan sonra oluşan yeni ortak çarpan parantezine alınır.

   Uygulama Adımları

   • Terimler, ortak çarpan içerecek biçimde uygun gruplara ayrılır.
   • Her grup kendi ortak çarpan parantezine alınır.
   • Elde edilen ortak parantez ifadesi tekrar ortak çarpan olarak dışarıya alınır.

   Örneğin; $ax + ay + bx + by$ ifadesini çarpanlarına ayıralım:

   $a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)$

   Çarpanlara ayırmada en sık başvurulan araçlardan biri özdeşliklerdir.

   1. İki Kare Farkı Özdeşliği

   İki terimin karelerinin farkı, bu terimlerin farkı ile toplamının çarpımına eşittir:

   $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

   Örnek: $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)$

   2. Tam Kare Özdeşlikleri

   İki terimin toplamının veya farkının karesi açıldığında üç terimli bir ifade oluşur:

   • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
   • $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

   Örnek: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

   $ax^2 + bx + c$ biçimindeki ikinci dereceden ifadeler çarpanlarına ayrılırken başkatsayının durumuna göre hareket edilir.

   Durum 1: $a = 1$ İse

   $x^2 + bx + c$ ifadesinde çarpımları $c$, toplamları $b$ olan iki sayı $m$ ve $n$ bulunur:

   $m \cdot n = c$ ve $m + n = b$ ise $x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$ olur.

   Örnek: $x^2 - 5x + 6$ ifadesinde çarpımları 6, toplamları -5 olan sayılar -2 ve -3 olduğundan çarpanlar $(x - 2)(x - 3)$ şeklindedir.

   Durum 2: $a \neq 1$ İse

   $ax^2$ terimi $px \cdot qx$ ve sabit terim $c$ terimi $m \cdot n$ biçiminde çarpanlarına ayrılır. Çapraz çarpımların toplamı ortadaki terimi ($bx$) veriyorsa, çarpanlar düz olarak yazılır:

   $(px + m)(qx + n)$

   Üçüncü dereceden terimlerin toplamı ve farkı aşağıdaki özdeşlikler kullanılarak çarpanlarına ayrılır:

   İki Küp Toplamı

   $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

   İki Küp Farkı

   $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

   Örnek: $x^3 - 8$ ifadesini ele alalım. Burada $8 = 2^3$ olduğundan iki küp farkı uygulanır:

   $x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

   Not: İkinci parantezdeki $a^2 \pm ab + b^2$ ifadeleri reel sayılarda daha fazla çarpanlarına ayrılamaz.