Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Rasyonel Sayıların Tanımı

   Bir rasyonel sayı, $a$ ve $b$ birer tam sayı ve $b \neq 0$ olmak üzere, $\frac{a}{b}$ biçiminde ifade edilebilen sayıdır. Bu sayıların oluşturduğu küme $\mathbb{Q}$ sembolü ile gösterilir:

   $$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z} \text{ ve } b \neq 0 \right\}$$

   Temel Özellikler

   • Pay ve Payda: $\frac{a}{b}$ kesrinde $a$ pay, $b$ ise paydadır. Payda sıfır olamaz; $b = 0$ durumu tanımsızdır.
   • Tam Sayılar Kümesi ile İlişki: Her $n$ tam sayısı, $\frac{n}{1}$ biçiminde yazılabildiğinden her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Dolayısıyla $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ kapsama bağıntısı geçerlidir.
   • İşaret Kuralı: Bir rasyonel sayının işareti paya, paydaya ya da kesir çizgisinin önüne yazılabilir: $-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$.

   Kesirlerin Denkliği

   $\frac{a}{b}$ ve $\frac{c}{d}$ iki rasyonel sayı olmak üzere, içler-dışlar çarpımı eşitliği sağlandığında ($a \cdot d = b \cdot c$), bu iki rasyonel sayı birbirine denktir ve $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ biçiminde yazılır.

   Genişletme ve Sadeleştirme Kuralları

   • Genişletme: Bir kesrin pay ve paydası sıfırdan farklı bir $k$ tam sayısı ile çarpılırsa değeri değişmez:$$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} \quad (k \neq 0)$$
   • Sadeleştirme: Bir kesrin pay ve paydası ortak bir $k$ tam sayısına bölünürse değeri değişmez:$$\frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k} \quad (k \neq 0)$$
   • En Sade Biçim: Pay ve paydanın en büyük ortak böleni 1 olduğunda ($\text{EBOB}(|a|, |b|) = 1$), kesir en sade halindedir.

   Aritmetik İşlemler

   Rasyonel sayılar kümesinde tanımlı dört temel işlem aşağıdaki kurallarla yürütülür:

   1. Toplama ve Çıkarma

   Paydaları eşit olan kesirlerde işlem paylar arasında yapılır, ortak payda aynen korunur. Paydaları farklı olan kesirlerin önce paydaları eşitlenir:

   $$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm b \cdot c}{b \cdot d}$$

   2. Çarpma

   Paylar kendi arasında çarpılarak sonucun payına, paydalar kendi arasında çarpılarak sonucun paydasına yazılır:

   $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

   3. Bölme

   Bölünen kesir aynen kalır, bölen kesrin çarpma işlemine göre tersi alınarak (pay ile payda yer değiştirilerek) çarpma işlemi uygulanır ($c \neq 0$):

   $$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

   İşlem Önceliği

   Parantez içi işlemler, ardından çarpma veya bölme (soldan sağa), en son toplama veya çıkarma işlemleri gerçekleştirilir.

   Ondalık Açılımlar

   Her rasyonel sayı payın paydaya bölünmesiyle ondalık biçimde ifade edilebilir. Bu açılımlar sonlu ya da devirli ondalık sayılardır.

   Sonlu Ondalık Sayılar

   En sade halindeki bir $\frac{a}{b}$ kesrinde, payda $b$'nin asal çarpanları yalnızca 2 ve/veya 5'ten oluşuyorsa, bu kesir sonlu bir ondalık sayı belirtir. Örneğin, $\frac{3}{8} = 0{,}375$.

   Devirli Ondalık Sayılar ve Rasyonel Sayıya Dönüşüm

   Paydada 2 ve 5 dışında asal çarpan bulunduğunda ondalık kısım belirli bir basamaktan sonra periyodik olarak yinelenir. Devirli ondalık bir sayıyı rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki bağıntı kullanılır:

   $$\text{Rasyonel Biçim} = \frac{\text{Sayının Tamamı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Virgülden Sonraki Devreden Basamak Sayısı Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0}}$$Örnek

   1{,}2ar{3} sayısı için:

   1{,}2ar{3} = \frac{123 - 12}{90} = \frac{111}{90} = \frac{37}{30}

   Rasyonel Sayılarda Sıralama

   Rasyonel sayılar karşılaştırılırken aşağıdaki yöntemler kullanılır:

   • Paydaları Eşitleme: Pozitif kesirlerde paydalar eşitlendiğinde payı büyük olan sayı daha büyüktür.
   • Payları Eşitleme: Pozitif kesirlerde paylar eşitlendiğinde paydası küçük olan sayı daha büyüktür.
   • Negatif Sayılarda Durum: Negatif rasyonel sayılar sıralanırken önce pozitif gibi sıralama yapılır; ardından eşitsizlik işareti ters çevrilir.

   Yoğunluk Özelliği

   Herhangi iki farklı rasyonel sayı $x$ ve $y$ ($x < y$) arasında daima en az bir rasyonel sayı bulunur. Örneğin, bu iki sayının aritmetik ortalaması olan $\frac{x+y}{2}$ daima rasyoneldir ve $x < \frac{x+y}{2} < y$ eşitsizliğini sağlar. Bu özelliğe rasyonel sayılar kümesinin yoğunluk özelliği denir.