Oran - Orantı Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. 1. Oran ve Orantı Nedir?

   Aynı birimle ifade edilen iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir. $b \neq 0$ olmak üzere $a$ ve $b$ reel sayıları için oran $\frac{a}{b}$ veya $a:b$ biçiminde gösterilir. Oranın bir birimi yoktur.

   İki ya da daha fazla oranın birbirine eşitlenmesiyle elde edilen eşitliğe orantı denir. $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$$ Bu ifadede $k$ sabit bir reel sayı olup orantı sabiti olarak adlandırılır. $a$ ve $d$ dışlar, $b$ ve $c$ ise içler terimleridir.

   Temel Orantı Özellikleri

   • İçler-Dışlar Çarpımı: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$
   • İçlerin ve Dışların Yer Değiştirmesi: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ise $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ ve $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ olur.
   • Genişletme ve Toplama Özelliği: $m, n \neq 0$ olmak üzere $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \implies \frac{m \cdot a + n \cdot c}{m \cdot b + n \cdot d} = k$$ Pay ve paydalar aynı katsayılarla çarpılıp toplandığında orantı sabiti değişmez.
   • Kuvvet ve Çarpım Özelliği: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \implies \frac{a \cdot c}{b \cdot d} = k^2$ ve $\left(\frac{a}{b}\right)^n = k^n$ olur.

   Doğru Orantının Tanımı

   İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır.

   $x$ ile $y$ doğru orantılı ise bölümleri daima sabittir: $$\frac{y}{x} = k \quad \text{veya} \quad y = k \cdot x \quad (k > 0)$$

   Grafiksel Yorum ve Özellikler

   Doğru orantının kartezyen koordinat sistemindeki grafiği, başlangıç noktasından (orijinden) geçen bir doğrudur. Doğrunun eğimi orantı sabiti $k$ değerine eşittir.

   • Birbiriyle doğru orantılı $a, b, c$ sayıları sırasıyla $2, 3, 5$ ile orantılı ise; $a = 2k$, $b = 3k$ ve $c = 5k$ biçiminde ifade edilir.
   • İş, zaman ve üretilen ürün problemleri kurgulanırken; harcanan süre veya işçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğrudan orantılıdır.

   Ters Orantı

   İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır.

   $x$ ile $y$ ters orantılı ise çarpımları sabittir: $$x \cdot y = k \quad \text{veya} \quad y = \frac{k}{x}$$

   Ters orantının grafiği orijinden geçmez; birinci bölgede hiperbol eğrisi oluşturur. Çokluklardan biri sıfıra yaklaşırken diğeri sonsuza yaklaşır.

   • $a, b, c$ sayıları $2, 3, 4$ ile ters orantılı ise; $$2a = 3b = 4c = k \implies a = \frac{k}{2}, \; b = \frac{k}{3}, \; c = \frac{k}{4}$$ eşitlikleri yazılır. En küçük ortak kat üzerinden pratik olarak $12k$ seçilirse $a = 6k$, $b = 4k$, $c = 3k$ elde edilir.

   Bileşik Orantı

   İçinde ikiden fazla orantı (doğru veya ters) bulunduran orantılara bileşik orantı denir.

   $y$ çokluğu, $x$ ile doğru, $z$ ile ters orantılı ise orantı bağıntısı: $$\frac{y \cdot z}{x} = k$$ şeklinde kurulur.

   Genel İş Kuralı: Yapılan iş miktarları ile işi gerçekleştiren diğer faktörlerin çarpımı orantılıdır: $$\frac{\text{1. Yapılan İş}}{\text{1. İşle İlgili Diğer Verilerin Çarpımı}} = \frac{\text{2. Yapılan İş}}{\text{2. İşle İlgili Diğer Verilerin Çarpımı}}$$

   1. Aritmetik Ortalama (AO)

   $n$ tane sayının toplamının, sayı adedine bölünmesiyle bulunur: $$\text{AO} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$

   2. Geometrik Ortalama (GO)

   Pozitif $n$ tane sayının çarpımının $n$. dereceden köküne denir: $$\text{GO} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dots x_n}$$

   Özellikle iki pozitif sayı $a$ ve $b$ için orta orantılı terim, geometrik ortalamaya karşılık gelir: $$\frac{a}{x} = \frac{x}{b} \implies x^2 = a \cdot b \implies x = \sqrt{a \cdot b}$$

   3. Harmonik Ortalama (HO)

   Sıfırdan farklı $n$ tane sayının çarpmaya göre terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir: $$\text{HO} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}$$

   Önemli Eşitsizlik ve Özellik

   Tüm terimleri pozitif reel sayılar olan bir veri kümesi için ortalamalar arasındaki genel ilişki: $$\text{AO} \ge \text{GO} \ge \text{HO}$$ Bu ortalamalar ancak ve ancak tüm terimler birbirine eşit olduğunda ($x_1 = x_2 = \dots = x_n$) birbirine eşitlenir.