Polinomlar Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Polinomun Tanımı

   Bir değişkenli ve gerçek katsayılı bir polinom, $n \in \mathbb{N}$ olmak üzere,

   $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$

   biçiminde tanımlanan cebirsel bir ifadedir. Bir ifadenin polinom belirtebilmesi için değişkenin üslerinin kesinlikle doğal sayı ($0, 1, 2, \dots$) olması ve katsayıların gerçek sayı olması gerekir.

   • Derece: Polinomdaki en büyük üsse polinomun derecesi denir ve $\operatorname{der}[P(x)]$ ile gösterilir. Burada $a_n \neq 0$ ise derece $n$'dir.
   • Baş Katsayı: En büyük dereceli terimin önündeki katsayı olan $a_n$ değeridir.
   • Sabit Terim: Değişkene bağlı olmayan terim olan $a_0$ değeridir.

   Değer Bulma ve Özel Bağıntılar

   Verilen bir $P(x)$ polinomunda değişken yerine sabit bir değer yazılarak polinomun o noktadaki sayısal değeri hesaplanır.

   • Katsayılar Toplamı: Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için değişkene 1 değeri verilir. $P(x)$ polinomunun katsayılar toplamı $P(1)$, $P(ax+b)$ polinomunun katsayılar toplamı ise $x=1$ yazılarak $P(a+b)$ ile bulunur.
   • Sabit Terim: Bir polinomun sabit terimini bulmak için değişkene 0 değeri verilir. $P(x)$ polinomunun sabit terimi $P(0)$, $P(ax+b)$ polinomunun sabit terimi ise $P(b)$ ile bulunur.
   • Çift ve Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları: Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı $\frac{P(1) + P(-1)}{2}$, tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı ise $\frac{P(1) - P(-1)}{2}$ formülü ile belirlenir.

   Bölme Özdeşliği

   $P(x)$ polinomunun $Q(x)$ polinomuna bölünmesi durumunda bölüm $B(x)$ ve kalan $K(x)$ olmak üzere temel bölme bağıntısı şu şekildedir:

   $P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x)$

   Bu özdeşlikte daima $\operatorname{der}[K(x)] < \operatorname{der}[Q(x)]$ eşitsizliği sağlanmalıdır. Kalan sıfır olduğunda ($K(x) = 0$), $P(x)$ polinomu $Q(x)$ polinomuna tam bölünüyor demektir.

   Kalan Teoremi

   $P(x)$ polinomunun $ax + b$ birinci dereceden terimi ile bölümünden kalanı bulmak için bölen sıfıra eşitlenir: $ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}$. Kalan değer doğrudan $P\left(-\frac{b}{a}\right)$ değerine eşittir.

   Kökler ve İleri Düzey Kalan Hesabı

   Bir $P(x)$ polinomunun $(x-a)(x-b)$ çarpımına tam bölünebilmesi için hem $P(a) = 0$ hem de $P(b) = 0$ şartlarının aynı anda sağlanması gerekir.

   • İkinci Dereceden Kalan: $P(x)$'in ikinci dereceden bir polinoma bölünmesinden elde edilecek kalan en fazla birinci dereceden olabilir: $K(x) = mx + n$.
   • Çok Katlı Kökler: $P(x)$ polinomu $(x-a)^2$ ile tam bölünüyorsa, $P(a) = 0$ olmasının yanı sıra polinomun birinci türevi de sıfıra eşittir: $P'(a) = 0$.
   • Özdeşlik Yardımıyla Kalan Bulma: Bölen polinomun sıfırları doğrudan reel sayı değilse (örneğin $x^2 + 1 = 0$ veya $x^2 - x + 1 = 0$), bölme özdeşliğinde $x^2 = -1$ veya $x^2 = x - 1$ indirgemeleri yapılarak en sade kalan polinomuna ulaşılır.