II. Dereceden Eşitsizlikler Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Bir bilinmeyenli ikinci dereceden eşitsizlikler, $a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere genel olarak aşağıdaki formlardan biriyle ifade edilir:

   • $ax^2 + bx + c > 0$
   • $ax^2 + bx + c \geq 0$
   • $ax^2 + bx + c < 0$
   • $ax^2 + bx + c \leq 0$

   Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak, bu açık önermeyi doğru yapan tüm gerçel sayıların kümesini belirlemektir. Çözüm sürecinin ilk adımı, tüm terimleri bir tarafa toplayarak diğer tarafı sıfır yapmaktır.

   Eşitsizliğin işaret incelemesini yapabilmek için öncelikle $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin gerçel kökleri bulunur. Bu denklemin diskriminantı $\Delta = b^2 - 4ac$ olmak üzere:

   • $\Delta > 0$ durumu: İki farklı gerçel kök ($x_1 < x_2$) vardır. Fonksiyon, bu kökler arasında ve dışında işaret değiştirir.
   • $\Delta = 0$ durumu: Çakışık (çift katlı) iki gerçel kök ($x_1 = x_2$) vardır. Fonksiyon kökün sağında ve solunda aynı işarete sahiptir.
   • $\Delta < 0$ durumu: Gerçel kök yoktur. İfade tüm gerçel sayılar için başkatsayı $a$ ile aynı işareti korur.

   Kökler bulunduktan sonra küçükten büyüğe doğru sayı doğrusu üzerine yerleştirilerek bir işaret tablosu hazırlanır:

   1. Tablonun en sağdaki aralığına, başkatsayı olan $a$'nın işareti yazılır.
   2. Sola doğru ilerlerken karşılaşılan her tek katlı kökte işaret değiştirilir (+ ise -, - ise + yapılır).
   3. Karşılaşılan her çift katlı kökte işaret değiştirilmez, aynı kalır.

   Not: Paydayı sıfır yapan kökler tanımsızlık oluşturduğu için çözüm kümesine kesinlikle dâhil edilmez.

   Eşitsizlik $\geq 0$ veya $\leq 0$ içeriyorsa denklemi sıfır yapan kökler çözüm kümesine köşeli parantez ile dâhil edilir; $> 0$ veya $< 0$ ise açık parantez kullanılır.

   Örnek: $x^2 - 3x - 10 \leq 0$ eşitsizliğini inceleyelim.

   • Kökler için $x^2 - 3x - 10 = 0 \implies (x - 5)(x + 2) = 0$ eşitliğinden $x_1 = -2$ ve $x_2 = 5$ bulunur.
   • Başkatsayı $a = 1 > 0$ olduğundan tablonun en sağına $(+)$ işareti konur.
   • Her kökte işaret değiştiğinden aralıklar sırasıyla: $(5, \infty)$ için $+$, $(-2, 5)$ için $-$, $(-\infty, -2)$ için $+$ olur.

   İfadenin $\leq 0$ olması istendiğinden çözüm kümesi $[-2, 5]$ kapalı aralığıdır.