II. Dereceden Denklemler Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Tanım ve Standart Biçim

   a, b ve c birer gerçek sayı ve a ≠ 0 olmak üzere,

   $$ax^2 + bx + c = 0$$

   biçimindeki açık önermelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

   • a: Başkatsayı (ikinci dereceden terimin katsayısı)
   • b: Birinci dereceden terimin katsayısı
   • c: Sabit terim

   Bu eşitliği sağlayan gerçek sayılara denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye ise denklemin çözüm kümesi denir.

   Diskriminant (Delta) Kavramı

   Bir denklemin gerçek sayılardaki köklerinin varlığı ve sayısı, katsayılar yardımıyla hesaplanan diskriminant değeri ile incelenir:

   $$\Delta = b^2 - 4ac$$

   Kök Durumlarının İncelenmesi

   • $\Delta > 0$: Denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır. Bu kökler aşağıdaki formülle bulunur:
     $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$
   • $\Delta = 0$: Denklemin birbirine eşit (çakışık, çift katlı) iki gerçek kökü vardır. İfade tam karedir:
     $$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$$
   • $\Delta < 0$: Denklemin gerçek sayılar kümesinde kökü yoktur; çözüm kümesi boş kümedir (karmaşık sayılar kümesinde iki eşlenik kök bulunur).

   Temel Bağıntılar (Viète Teoremi)

   $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ olmak üzere, kökleri tek tek bulmadan toplam ve çarpımlarına ulaşılabilir:

   • Kökler Toplamı: $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
   • Kökler Çarpımı: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
   • Kökler Farkının Mutlak Değeri: $$|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$$

   Kökleri Bilinen Denklemin Kurulması

   Kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan ikinci dereceden denklem;

   $T = x_1 + x_2$ ve $Ç = x_1 \cdot x_2$ olmak üzere,

   $$x^2 - Tx + Ç = 0$$

   biçiminde ifade edilir.

   Model Uygulama

   Denklem: $2x^2 - 6x + 1 = 0$

   1. Katsayıların Belirlenmesi

   $a = 2$, $b = -6$, $c = 1$

   2. Diskriminant Hesabı

   $$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 36 - 8 = 28$$

   $\Delta > 0$ olduğundan denklemin iki farklı gerçek kökü vardır.

   3. Köklerin Bulunması

   $$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$$

   4. Bağıntıların Doğrulanması

   • $x_1 + x_2 = -\frac{-6}{2} = 3$
   • $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2}$