Diziler Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Dizi Nedir?

   Pozitif doğal sayılar kümesinden ($\mathbb{N}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}$) gerçel sayılar kümesine ($\mathbb{R}$) tanımlanan her fonksiyona gerçel sayı dizisi veya kısaca dizi adı verilir.

   Bir dizi genellikle $(a_n)$, $(b_n)$ veya $(x_n)$ şeklinde sembolize edilir. Dizinin elemanları pozitif tam sayıların görüntüleriyle ifade edilir:

   • $a_1$: Dizinin birinci terimi
   • $a_2$: Dizinin ikinci terimi
   • $a_n$: Dizinin n'inci terimi veya genel terimi

   Bir ifadenin dizi belirtebilmesi için her $n \in \mathbb{N}^+$ değeri karşılığında gerçel bir sayı tanımlı olmalıdır. Örneğin genel terimi tanımsız yapan herhangi bir pozitif tam sayı bulunmamalıdır.

   Aritmetik Dizi ve Genel Terim

   Ardışık terimleri arasındaki farkı sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. Bu sabit değere dizinin ortak farkı denir ve genellikle $d$ ya da $r$ harfiyle gösterilir.

   İlk terimi $a_1$ ve ortak farkı $d$ olan bir aritmetik dizinin genel terimi aşağıdaki bağıntı ile ifade edilir:

   $$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

   Herhangi iki terim arasındaki ilişki ise şu şekilde yazılabilir:

   $$a_n = a_k + (n - k)d \quad (n > k)$$

   İlk n Terim Toplamı

   Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı $S_n$ olmak üzere:

   $$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \left[2a_1 + (n - 1)d\right]$$

   Geometrik Dizi ve Genel Terim

   Ardışık iki teriminin oranı sabit olan (sıfırdan farklı terimli) dizilere geometrik dizi denir. Bu sabit orana dizinin ortak çarpanı denir ve genellikle $r$ ile gösterilir.

   İlk terimi $a_1$ ve ortak çarpanı $r$ olan bir geometrik dizinin genel terimi şöyledir:

   $$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$

   Herhangi iki terim arasındaki bağıntı:

   $$a_n = a_k \cdot r^{n-k} \quad (n > k)$$

   İlk n Terim Toplamı

   $r \neq 1$ olmak koşuluyla, bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı:

   $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$

   Monoton Diziler

   Bir $(a_n)$ dizisinde her $n \in \mathbb{N}^+$ için:

   • $a_{n+1} \ge a_n$ ise dizi artan (veya monoton artan),
   • $a_{n+1} \le a_n$ ise dizi azalan (veya monoton azalan)

   olarak adlandırılır. Artan ya da azalan dizilere genel olarak monoton diziler denir.

   Sınırlı Diziler ve Yakınsaklık

   Her $n \in \mathbb{N}^+$ için $m \le a_n \le M$ olacak biçimde $m, M \in \mathbb{R}$ sayıları bulunabiliyorsa $(a_n)$ dizisi sınırlıdır.

   n sonsuza giderken $a_n$ terimleri belirli bir gerçel sayıya yaklaşıyorsa, dizinin limiti vardır ve diziye yakınsak denir; aksi halde dizi ıraksaktır. Temel teorem gereğince, monoton ve sınırlı her gerçel sayı dizisi mutlaka yakınsaktır.