Gerçek Katsayılı Tek Değişkenli Polinom Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Kazanım PDF İndir

Sorular

1. 1.

   Gerçek katsayılı dördüncü dereceden bir $P(x)$ polinom fonksiyonunun birbirinden farklı dört gerçek sıfırı vardır. Buna göre $P(x)$ polinom fonksiyonunun nitel özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

   • A) $P(x)$ fonksiyonu tüm gerçek sayılar kümesinde bire bir ve örten bir fonksiyondur.
   • B) Pozitif bir $a$ gerçek sayısı için $Q(x) = P(x-a)$ fonksiyonunun sıfırları, $P(x)$'in sıfırlarının her birine $a$ eklenmesiyle elde edilir ve sıfır sayısı değişmez.
   • C) $P(x)$ fonksiyonunun grafiği her zaman y-eksenine göre simetriktir.
   • D) $x \to +\infty$ ve $x \to -\infty$ durumlarında $P(x)$ fonksiyonunun aldığı değerlerin işaretleri daima zıttır.
   • E) $P(x)$ fonksiyonunun görüntü kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir.
2. 2.

   Gerçek katsayılı ve dördüncü dereceden bir $P(x)$ polinom fonksiyonunun farklı gerçel sıfırlarının kümesi $\{-2, 1, 4\}$ olarak veriliyor. Pozitif bir $a$ gerçel sayısı için $Q(x) = P(x - a)$ fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre $Q(x)$ fonksiyonunun nitel özellikleriyle ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

   • A) $Q(x)$ fonksiyonunun farklı gerçel sıfırlarının sayısı, $P(x)$ fonksiyonunun farklı gerçel sıfırlarının sayısına eşittir.
   • B) $Q(x)$ fonksiyonu bire bir bir fonksiyondur.
   • C) $Q(x)$ ve $P(x)$ fonksiyonlarının gerçel sıfırlarının toplamı birbirine eşittir.
   • D) $Q(x)$ ve $P(x)$ fonksiyonlarının $y$-eksenini kestiği noktaların ordinatları eşittir.
   • E) $Q(x)$ fonksiyonunun başkatsayısı, $P(x)$ fonksiyonunun başkatsayısından daha büyüktür.
3. 3.

   Gerçek katsayılı dördüncü dereceden bir $P(x)$ polinom fonksiyonunun farklı gerçel kökleri $-3$, $-1$, $2$ ve $5$'tir. $Q(x) = P(x - 4)$ biçiminde tanımlanan $Q(x)$ polinom fonksiyonunun gerçel köklerinin toplamı kaçtır?

   • A) 7
   • B) 11
   • C) 15
   • D) 19
   • E) 23
4. 4.

   Gerçek katsayılı dördüncü dereceden bir $P(x)$ polinom fonksiyonu her $x \in \mathbb{R}$ için $P(-x) = P(x)$ eşitliğini sağlamaktadır. Bu fonksiyonun iki farklı gerçek sıfırı $x_1 = -2$ ve $x_2 = 3$ olduğuna göre, $P(x)$ polinom fonksiyonunun toplam kaç farklı gerçek sıfırı vardır?

   • A) 2
   • B) 3
   • C) 4
   • D) 5
   • E) 6
5. 5.

   Gerçek katsayılı dördüncü dereceden bir $P(x)$ polinom fonksiyonunun her $x \in \mathbb{R}$ için $P(-x) = P(x)$ eşitliğini sağladığı ve dördü de birbirinden farklı gerçek sıfırlarının olduğu bilinmektedir. Buna göre $Q(x) = P(x - 3)$ polinom fonksiyonunun sıfırlarının toplamı kaçtır?

   • A) 0
   • B) 3
   • C) 6
   • D) 9
   • E) 12
6. 6.

   Gerçek katsayılı ve başkatsayısı pozitif olan 4. dereceden bir $P(x)$ polinom fonksiyonu her $x \in \mathbb{R}$ için $P(-x) = P(x)$ eşitliğini sağlamaktadır. $P(0) = -4$ olduğuna göre, $P(x)$ polinom fonksiyonunun nitel özellikleri ile ilgili verilen ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

   • A) $P(x)$ fonksiyonunun en az iki farklı gerçek sıfırı vardır.
   • B) $P(x)$ fonksiyonu tüm gerçek sayılar kümesinde bire birdir.
   • C) $P(x)$ fonksiyonunun görüntü kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir.
   • D) $P(x)$ fonksiyonu tek fonksiyondur.
   • E) $P(x)$ fonksiyonunun hiçbir gerçek sıfırı yoktur.
7. 7.

   Gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = 3x - 5$ doğrusal fonksiyonu ile $g(x) = 2x^2 - x + 4$ karesel fonksiyonunun cebirsel temsilleri ve işlem özellikleri incelenmektedir. Doğrusal ve karesel fonksiyonlar ile polinom fonksiyonlar arasındaki analojik ilişkiden hareketle aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

   • A) Doğrusal ve karesel fonksiyonların tanım kümeleri gerçek sayılardır ve bu iki fonksiyonun çarpımı olan $f(x) \cdot g(x)$ cebirsel ifadesi gerçek sayılarda tanımlı 3. dereceden bir polinom fonksiyondur.
   • B) İki doğrusal fonksiyonun toplamı veya farkı sonucunda elde edilen yeni fonksiyon her zaman karesel bir polinom fonksiyona dönüşür.
   • C) Karesel fonksiyonların bağımsız değişkeninin en büyük kuvveti 2 olduğu için tanım kümeleri yalnızca pozitif gerçek sayılarla sınırlıdır.
   • D) $f(x)$ ve $g(x)$ fonksiyonlarının birbirine oranı olan $\frac{f(x)}{g(x)}$ cebirsel ifadesi her zaman 1. dereceden bir polinom fonksiyon tanımlar.
   • E) Doğrusal ve karesel fonksiyonların çarpımıyla oluşan fonksiyonun katsayıları gerçek sayı kümesinden farklı bir kümede yer aldığından bu ifade polinom sayılmaz.
8. 8.

   Gerçek sayılar kümesinde tanımlı doğrusal $f(x) = 2x - 3$ ve karesel $g(x) = x^2 - 4x + 1$ fonksiyonları, doğal sayı dereceli polinom fonksiyonlar ailesinin sırasıyla 1. ve 2. dereceden birer temsilcisidir. Buna göre bu iki fonksiyonun çarpımı ve karesi kullanılarak oluşturulan $P(x) = [f(x)]^2 \cdot g(x)$ polinom fonksiyonunun derecesi ile başkatsayısının toplamı kaçtır?

   • A) 6
   • B) 7
   • C) 8
   • D) 9
   • E) 10
9. 9.

   Gerçek sayılarda tanımlı doğrusal ve karesel fonksiyonların cebirsel ve kümesel nitelikleri genellenerek derece kavramı ile birlikte polinom fonksiyonlar tanımlanır. Bu analojik ilişkilendirmeden hareketle genel polinom fonksiyonların özellikleri göz önüne alındığında, verilen yargılardan hangisi doğrusal ve karesel fonksiyonlar ile polinom fonksiyonların ortak cebirsel özelliklerinden biri değildir?

   • A) Bağımsız değişkenin kuvvetleri birer doğal sayıdır.
   • B) Katsayılar gerçek sayılar kümesinin birer elemanıdır.
   • C) Tanım kümeleri tüm gerçek sayılar kümesidir.
   • D) İki fonksiyonun toplamı, farkı ve çarpımı yine aynı aileden bir fonksiyondur.
   • E) İki fonksiyonun birbirine oranı daima aynı aileden bir polinom fonksiyondur.
10. 10.

    Doğrusal ve karesel fonksiyonların cebirsel temsilindeki değişken kuvvetlerinin doğal sayı, katsayılarının ise gerçek sayı olmasından hareketle genel polinom fonksiyonu kavramına ulaşılır. Bu analojik ilişki ve polinom fonksiyonların genel özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

    • A) Doğrusal ve karesel fonksiyonlar, dereceleri sırasıyla 1 ve 2 olan birer polinom fonksiyondur.
    • B) Doğrusal ve karesel fonksiyonlar arasında yapılan toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri sonucunda elde edilen fonksiyonlar da birer polinom fonksiyondur.
    • C) Doğrusal ve karesel fonksiyonlar dâhil tüm polinom fonksiyonların en geniş tanım kümesi gerçek sayılar kümesidir.
    • D) Doğrusal fonksiyonlarda olduğu gibi karesel ve tüm çift dereceli polinom fonksiyonların da değer kümesi daima tüm gerçek sayılar kümesidir.
    • E) Doğrusal ve karesel fonksiyonların cebirsel ifadelerindeki sabit terim, bu fonksiyonların temsil ettiği polinomun sıfırıncı dereceden teriminin katsayısıdır.