Karaköklü İfadeler Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Karekök Kavramı

   Negatif olmayan bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemine karekök alma denir. Bir $a$ reel sayısı için karesi $a$'ya eşit olan negatif olmayan değer $\sqrt{a}$ sembolü ile gösterilir.

   Kareköklü ifadelerin temel tanım özellikleri:

   • Gerçel sayılar kümesinde $\sqrt{a}$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için $a \ge 0$ olmalıdır.
   • Tanımlı olduğu her durumda $\sqrt{a} \ge 0$ koşulu sağlanır.
   • Her $a$ gerçel sayısı için $\sqrt{a^2} = |a|$ eşitliği geçerlidir.

   Çarpma ve Bölme İşlemleri

   Pozitif veya sıfıra eşit gerçel sayılar için karekök içindeki çarpım ve bölüm ifadeleri ayrı ayrı kökler hâlinde yazılabilir.

   • Çarpma Kuralı: $a \ge 0$ ve $b \ge 0$ olmak üzere $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ eşitliği sağlanır.
   • Bölme Kuralı: $a \ge 0$ ve $b > 0$ olmak üzere $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ biçiminde hesaplanır.
   • Katsayıyı Kök İçine Alma: $b > 0$ için $b\sqrt{a} = \sqrt{b^2 \cdot a}$ şeklinde düzenlenir.

   Toplama, Çıkarma ve Paydayı Rasyonel Yapma

   Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılabilmesi için kök içlerindeki sayıların aynı olması gerekir. Ortak köklü terimlerin katsayıları üzerinde işlem yapılır:

   • $x\sqrt{a} + y\sqrt{a} = (x + y)\sqrt{a}$
   • $x\sqrt{a} - y\sqrt{a} = (x - y)\sqrt{a}$

   Paydasında irrasyonel köklü ifade bulunan kesirlerde paydayı rasyonel hâle getirmek için pay ve payda uygun eşlenik ile genişletilir. Örneğin $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ kesri $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ ile genişletildiğinde payda iki kare farkı kuralından dolayı $a - b$ değerine dönüşür.